Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.60. La suite {S n } est croissante. Si elle est majorée, elle converge et on
a alors
lim
n→+∞
a n = lim
n→+∞
(S n − S n−1 ) = 0.
On suppose maintenant que l’on a lim
n→+∞
S n = +∞. Par hypothèse,
S n+1 a n+1 + a n S n a n + a n−1 ,
d’où S n a n + a n−1 S 2 a 2 + a 1 . Donc,
a n a n +
a n−1
S n
S 2 a 2 + a 1
S n
.
Finalement, lim
n→+∞
a n = 0.
II.5.61. Par hypothèse, pour tout ε > 0, il existe un entier n 0 strictement
positif tel que a n < εn pour n > n 0 . Donc,
a 2
1 + a 2
2 + . . . + a 2
n
n 2
=
a 2
1 + a 2
2 + . . . + a 2
n 0
n 2
+
a 2
n 0 +1 + . . . + a 2
n
n 2
a 2
1 + a 2
2 + . . . + a 2
n 0
n 2
+
nε(a n 0 +1 + . . . + a n )
n 2
.
D’après II.4.14 et II.4.19,
lim
n→+∞
a 2
1 + a 2
2 + . . . + a 2
n
n 2
ε lim
n→+∞
a 1 + . . . + a n
n
.
Ceci implique évidemment lim
n→+∞
a 2
1 +a 2
2 +...+a 2
n
n 2
= 0.
II.5.62. On applique le théorème de Toeplitz (voir II.3.1). On pose
A n = a 1 + a 2 + . . . + a n , B n = b 1 + b 2 + . . . + b n , C n = c 1 + c 2 + . . . + c n
et
d n,k =
a n−k+1 B k
a 1 B n + a 2 B n−1 + . . . + a n B 1
.
On montre que les nombres strictement positifs d n,k vérifient les conditions (i)
et (ii) de II.3.1 (voir aussi II.3.3 (a)). Pour un k fixé, on a
d n,k
a n−k+1
a 1 + a 2 + . . . + a n−k+1
− −−−− →
n→+∞
0.
Clairement,
n
k=1
d n,k = 1. On remarque aussi que
c n
C n
=
a 1 b n + a 2 b n−1 + . . . + a n b 1
a 1 B n + a 2 B n−1 + . . . + a n B 1
= d n,1
b 1
B 1
+ d n,2
b 2
B 2
+ . . . + d n,n
b n
B n
.
Finalement, d’après le théorème de Toeplitz, lim
n→+∞
cn
Cn = lim
n→+∞
bn
Bn = 0.
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