Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.68. On utilise le résultat prouvé dans la solution du problème précédent.
La monotonie de la suite {a n } implique
a n+1
n + 1 + a n+1
−
a n
n + a n
−a n
(n + 1 + a n+1 )(n + a n )
−1
n
.
Donc, d’après le résultat du problème précédent, l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite donnée est l’ensemble [l , L], où
l = lim
n→+∞
a n
n + a n
et L = lim
n→+∞
a n
n + a n
.
II.5.69. On note que
a 2n+1 −
1
3
=
1
2
a 2n −
2
3
=
1
2
1 + a 2n−1
2
−
2
3
=
1
4
a 2n−1 −
1
3
.
Ceci implique que la suite a deux valeurs d’adhérence :
1
3 et
2
3 .
II.5.70. On sait, d’après I.1.14, que pour tout n positif, il existe un entier
q n strictement positif et un entier p n tels que
2π −
p n
q n
<
1
q 2
n
.
Donc, |p n | < (2π + 1)q n et, en conséquence,
|p n | sin p n
=
|p n | sin(2πq n − p n )
|p n | sin
1
q n
√ 2π + 1
√ q n
.
Puisque la suite {q n } n’est pas bornée, elle contient une sous-suite divergeant
vers l’infini. Zéro est donc une valeur d’adhérence de la suite {a n }.
II.5.71. Il suffit de prouver qu’il existe une sous-suite {a n k } telle que
n k (a 1 + a n k +1 )
(n k + 1)a n k
n k
1.
Supposons que la condition ci-dessus ne soit pas vérifiée. Il existe alors n 0
tel que
n(a 1 + a n+1 )
(n + 1)a n
< 1 si n n 0 .
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