Solutions
(b) On a
lim
n→+∞
(na n − 2)
n
ln n
= lim
n→+∞
na n
n −
2
an
ln n
.
(1)
On va utiliser le théorème de Stolz (voir II.3.11) pour prouver que
lim
n→+∞
n−
2
an
ln n existe. On a
lim
n→+∞
n −
2
an
ln n
= lim
n→+∞
1 −
2
a n+1
+
2
an
ln
1 +
1
n
.
Puisque lim
n→+∞
a n+1
an = lim
n→+∞
ln(1+an)
an
= 1 et lim
n→+∞
n ln
1 +
1
n
= 1, on
voit que
lim
n→+∞
n −
2
an
ln n
= lim
n→+∞
n(2a n+1 − 2a n + a n a n+1 )
a 2
n
.
(2)
Il suffit maintenant de montrer que lim
n→+∞
2a n+1 −2an+ana n+1
a 3
n
existe. Pour
cela, on utilise l’inégalité (qui peut être prouvée par dérivation)
x −
x 2
2
+
x 3
3
−
x 4
4
< ln(1 + x) < x −
x 2
2
+
x 3
3
, x > 0.
On a donc
1
6
a
3
n −
1
6
a
4
n −
1
4
a
5
n < 2a n+1 − 2a n + a n a n+1 <
1
6
a
3
n −
1
3
a
4
n .
Ceci donne
lim
n→+∞
2a n+1 − 2a n + a n a n+1
a 3
n
=
1
6
.
En combinant ce résultat à (1) et (2), on voit que lim
n→+∞
n(nan−2)
ln n
=
2
3 .
II.5.30. On pose f (x) =
1
4
x et F (x) = f (f (x)) − x. On montre d’abord
que F (x) < 0 pour x > 0. On a
F
(x) =
1
4
(
1
4 )
x +x
ln
2
4 − 1.
Donc,
F
(x) < 0 si et seulement si
1
4
(
1
4 )
x +x
<
1
ln
2
4
.
On vérifie simplement que la fonction dans le premier membre de la dernière
inégalité atteint sa valeur maximale de
1
e ln 4 en x =
ln ln 4
ln 4 . Ceci implique
149