Chapitre II. Suites de nombres réels
Donc, lim
n→+∞
a n = x 0 pour 1 < a
π
2 . Si −
π
2 a < 0, a 1 > 0, on considère alors la suite {b n } définie par b 1 = a 1 et b n+1 = −a sin b n . Évidemment,
b n = (−1) n−1 a n . Il s’ensuit que, dans le cas où 0 < a 1
π
2 , on a
lim
n→+∞
a n = 0
si |a| 1,
lim
n→+∞
a n = x 0
si 1 < a
π
2
,
lim
n→+∞
a n n’existe pas
si −
π
2
a < −1.
Si −
π
2 a 1 < 0, on peut alors considérer la suite définie par b 1 = −a 1 et
b n+1 = a sin b n et appliquer ce qui précède. Si a 1 = 0, tous les termes de la
suite sont égaux à 0.
II.5.29.
(a) On note que a n > 0 et a n+1 = ln(1 + a n ) < a n . La suite converge donc
vers une limite g vérifiant g = ln(1 + g), d’où g = 0. On montre maintenant que lim
n→+∞
na n = 2. On peut prouver en dérivant que (voir aussi
II.5.3)
2x
2 + x
< ln(1 + x) < x −
x 2
2
+
x 3
3
pour x > 0.
Ceci implique
1
a n
−
1
a n
+
1
a n
1 −
1
2 a n +
1
3 a 2
n
<
1
a n+1
<
1
a n
+
1
2
.
(∗)
On voit, en posant
b n = −
1
a n
+
1
a n
1 −
1
2 a n +
1
3 a 2
n
,
que lim
n→+∞
b n =
1
2 . On obtient en sommant chaque membre de (∗)
1
a 1
+
1
a 2
+ . . . +
1
a n
+ b 1 + b 2 + . . . + b n <
1
a 1
+
1
a 2
+ . . . +
1
a n
+
1
a n+1
<
1
a 1
+
1
a 2
+ . . . +
1
a n
+
n
2
.
Donc,
1
(n + 1)a 1
+
b 1 + b 2 + . . . + b n
n + 1
<
1
(n + 1)a n+1
<
1
(n + 1)a 1
+
n
2(n + 1)
et lim
n→+∞
1
(n+1)a n+1
=
1
2 .
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