Chapitre II. Suites de nombres réels
F (x) < 0 et F est strictement décroissante sur R ∗
+ . De plus, F
1
2
= 0.
Donc, F (x) > 0 pour 0 < x <
1
2 et F (x) < 0 pour x >
1
2 . En conséquence,
f (f (x)) < x pour x >
1
2
.
Puisque a 2 = 1 >
1
2 , il s’ensuit que a 4 = f (f (a 2 )) < a 2 et on trouve par récurrence que {a 2n } est strictement décroissante. Elle tend donc vers une limite g 1
vérifiant f (f (g 1 )) = g 1 . La convergence de {a 2n−1 } vers une limite g 2 vérifiant
f (f (g 2 )) = g 2 peut se prouver de la même façon. Clairement, g 1 = g 2 =
1
2 .
II.5.31. On remarque d’abord que 0 < a n < 2 pour n 2. Si a n > 1, alors
a n+1 < 1. On pose f (x) = 2 1−x et F (x) = f (f (x)) − x. On peut montrer que
F (x) < 0 pour 0 < x < 2. Donc,
F (x) < F (1) = 0 pour 1 < x < 2,
F (x) > F (1) = 0 pour 0 < x < 1.
Ensuite, comme dans la solution du problème précédent, on montre que si
a 1 < 1, la suite {a 2n } est alors décroissante et la suite {a 2n−1 } croissante et
toutes les deux tendent vers la même limite 1. Des considérations semblables
s’appliquent au cas a 1 > 1.
II.5.32. On observe d’abord que tous les termes de la suite se trouvent dans
l’intervalle ]1 , 2[. Puisque la fonction F (x) = 2
x
2 − x est décroissante sur cet
intervalle, F (x) > F (2) = 0 pour x ∈ ]1 , 2[. La suite est donc croissante et sa
limite g vérifie g = 2
g
2 , d’où g = 2.
II.5.33. On applique II.3.14 à la suite {a n + a n−1 } pour obtenir
lim
n→+∞
an+a n−1
n
= 0. On considère alors la suite b n = (−1) n a n . Puisque
lim
n→+∞
(b n − b n−2 ) = 0, on voit que
0 = lim
n→+∞
b n + b n−1
n
= lim
n→+∞
a n − a n−1
n
.
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F (x) < 0 et F est strictement décroissante sur R ∗
+ . De plus, F
1
2
= 0.
Donc, F (x) > 0 pour 0 < x <
1
2 et F (x) < 0 pour x >
1
2 . En conséquence,
f (f (x)) < x pour x >
1
2
.
Puisque a 2 = 1 >
1
2 , il s’ensuit que a 4 = f (f (a 2 )) < a 2 et on trouve par récurrence que {a 2n } est strictement décroissante. Elle tend donc vers une limite g 1
vérifiant f (f (g 1 )) = g 1 . La convergence de {a 2n−1 } vers une limite g 2 vérifiant
f (f (g 2 )) = g 2 peut se prouver de la même façon. Clairement, g 1 = g 2 =
1
2 .
II.5.31. On remarque d’abord que 0 < a n < 2 pour n 2. Si a n > 1, alors
a n+1 < 1. On pose f (x) = 2 1−x et F (x) = f (f (x)) − x. On peut montrer que
F (x) < 0 pour 0 < x < 2. Donc,
F (x) < F (1) = 0 pour 1 < x < 2,
F (x) > F (1) = 0 pour 0 < x < 1.
Ensuite, comme dans la solution du problème précédent, on montre que si
a 1 < 1, la suite {a 2n } est alors décroissante et la suite {a 2n−1 } croissante et
toutes les deux tendent vers la même limite 1. Des considérations semblables
s’appliquent au cas a 1 > 1.
II.5.32. On observe d’abord que tous les termes de la suite se trouvent dans
l’intervalle ]1 , 2[. Puisque la fonction F (x) = 2
x
2 − x est décroissante sur cet
intervalle, F (x) > F (2) = 0 pour x ∈ ]1 , 2[. La suite est donc croissante et sa
limite g vérifie g = 2
g
2 , d’où g = 2.
II.5.33. On applique II.3.14 à la suite {a n + a n−1 } pour obtenir
lim
n→+∞
an+a n−1
n
= 0. On considère alors la suite b n = (−1) n a n . Puisque
lim
n→+∞
(b n − b n−2 ) = 0, on voit que
0 = lim
n→+∞
b n + b n−1
n
= lim
n→+∞
a n − a n−1
n
.
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