Solutions
On a donc, pour n suffisamment grand,
b n =
a 1 + a 2 + . . . + a n + a n+1
a n
a k + . . . + a n + a n+1
a n
=
a k
a k+1
· · ·
a n−2
a n−1
·
a n−1
a n
+
a k+1
a k+2
· · ·
a n−2
a n−1
·
a n−1
a n
+ . . . +
a n−2
a n−1
·
a n−1
a n
+
a n−1
a n
+ 1 +
a n+1
a n
1
α + ε
n−k
+
1
α + ε
n−k−1
+ . . . +
1
α + ε
+ 1 +
a n+1
a n
.
Si 0 < α < 1, l’inégalité précédente et le problème II.4.14 (b) donnent
lim
n→+∞
b n = +∞.
D’autre part, si α 1, on conclut avec les problèmes II.4.14 (b)
et II.4.19 que
lim
n→+∞
b n α + lim
n→+∞
1 −
1
α+ε
n−k+1
1 −
1
α+ε
= α +
α + ε
α + ε − 1
.
(3)
Dans le cas α = 1, ε > 0 peut être choisi arbitrairement et on obtient
lim
n→+∞
b n = +∞. Si α > 1, alors (3) implique
lim
n→+∞
b n 1 + α +
1
α − 1
= 2 + (α − 1) +
1
α − 1
4.
Le nombre 4 est le meilleur minorant car il est atteint pour la suite a n = 2 n ,
n ∈ N ∗ .
II.5. Problèmes divers
II.5.1. Supposons d’abord que lim
n→+∞
a n = +∞. On pose b n = [a n ]. On a
alors b n a n < b n + 1. D’où,
1 +
1
b n + 1
bn
<
1 +
1
a n
an
<
1 +
1
b n
bn+1
.
Le résultat de II.1.38 et le théorème des gendarmes impliquent donc
lim
n→+∞
1 +
1
a n
an
= e.
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