Chapitre II. Suites de nombres réels
De plus,
lim
n→+∞
1 −
1
a n
an
= e
−1
car
lim
n→+∞
1 −
1
a n
an
= lim
n→+∞
1
1 +
1
an−1
an = e
−1 .
Ceci implique
lim
n→+∞
1 +
1
a n
an
= e si {a n } diverge vers −∞.
II.5.2. On peut appliquer le problème précédent en prenant a n =
n
x , x = 0.
II.5.3. D’après II.1.39, II.1.40 et II.5.2,
1 +
x
n
n < e x <
1 +
x
n
l+n pour
l > x > 0, l ∈ N ∗ . Donc, pour tout réel x ∈ R ∗
+ et tout entier n ∈ N ∗ ,
x
n+l < ln
1 +
x
n
<
x
n si l > x. En prenant n = 1, on obtient ln(1 + x) < x
pour x > 0. On pose maintenant l = [x] + 1 et on obtient
ln
1 +
x
n
>
x
n
2 +
x
n
.
Donc, ln(1 + x) >
x
2+x pour x > 0.
On considère maintenant la fonction f (x) = ln(1 + x) −
2x
2+x , x > 0. On a
f
(x) =
x 2
(x + 1)(x + 2) 2 > 0
pour x > 0.
D’où,
f (x) = ln(1 + x) −
2x
x + 2
> f(0) = 0
pour x > 0.
II.5.4.
(a) On suppose d’abord que a > 1. On pose a n =
n
√
a − 1. L’inégalité donnée
en II.5.3 donne
2a n
a n + 2
<
1
n
ln a = ln(a n + 1) < a n .
Le théorème des gendarmes implique donc lim
n→+∞
n (
n
√
a − 1) = ln a pour
a > 1. On voit aussi que la proposition reste correcte pour a = 1. Pour
la prouver dans le cas 0 < a < 1, il suffit d’appliquer ce qui précède avec
1
a > 1.
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