Chapitre II. Suites de nombres réels
On a alors
0 = lim
n→+∞
min {a n , b n } } = min
lim
n→+∞
a n , lim
n→+∞
b n
= 1.
(d) De même, cette égalité est fausse comme on peut le voir en considérant
les suites définies en (c).
II.4.29. On suppose que la suite {a n } vérifie la propriété qu’il existe une
infinité d’entiers n tels que
a k a n pour tout k n.
( ∗)
Soit n 1 le premier de ces n, n 2 le second, etc. La suite {a n k } est une sous-suite
décroissante de {a n }. D’un autre côté, si la suite {a n } ne vérifie pas la propriété
précédente, autrement dit, s’il n’existe qu’un nombre fini de n vérifiant (∗), on
choisit un entier m 1 tel que la suite {a m 1 +n } ne vérifie pas (∗). Soit m 2 le premier entier plus grand que m 1 tel que a m 2 > a m 1 . En poursuivant le procédé,
on extrait de {a n } la sous-suite croissante {a mn }.
II.4.30. D’après le problème précédent, une telle suite contient une sous-suite
monotone et bornée donc convergente.
II.4.31. On suppose d’abord que lim
n→+∞
a n+1
an
= +∞. Alors, d’après
II.4.14 (b),
lim
n→+∞
a 1 + a 2 + . . . + a n + a n+1
a n
= +∞.
On suppose maintenant que
lim
n→+∞
a n+1
a n
= α < +∞.
Alors, étant donné ε > 0, il existe k tel que
a n+1
a n
< α + ε pour n k.
(1)
Dit autrement,
a n
a n+1
>
1
α + ε
pour n k.
(2)
136
On a alors
0 = lim
n→+∞
min {a n , b n } } = min
lim
n→+∞
a n , lim
n→+∞
b n
= 1.
(d) De même, cette égalité est fausse comme on peut le voir en considérant
les suites définies en (c).
II.4.29. On suppose que la suite {a n } vérifie la propriété qu’il existe une
infinité d’entiers n tels que
a k a n pour tout k n.
( ∗)
Soit n 1 le premier de ces n, n 2 le second, etc. La suite {a n k } est une sous-suite
décroissante de {a n }. D’un autre côté, si la suite {a n } ne vérifie pas la propriété
précédente, autrement dit, s’il n’existe qu’un nombre fini de n vérifiant (∗), on
choisit un entier m 1 tel que la suite {a m 1 +n } ne vérifie pas (∗). Soit m 2 le premier entier plus grand que m 1 tel que a m 2 > a m 1 . En poursuivant le procédé,
on extrait de {a n } la sous-suite croissante {a mn }.
II.4.30. D’après le problème précédent, une telle suite contient une sous-suite
monotone et bornée donc convergente.
II.4.31. On suppose d’abord que lim
n→+∞
a n+1
an
= +∞. Alors, d’après
II.4.14 (b),
lim
n→+∞
a 1 + a 2 + . . . + a n + a n+1
a n
= +∞.
On suppose maintenant que
lim
n→+∞
a n+1
a n
= α < +∞.
Alors, étant donné ε > 0, il existe k tel que
a n+1
a n
< α + ε pour n k.
(1)
Dit autrement,
a n
a n+1
>
1
α + ε
pour n k.
(2)
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