Solutions
Donc, a n b n > M pour n > n 0 . On a alors lim
n→+∞
(a n b n ) = +∞ et l’inégalité (i)
est prouvée.
Notre but est maintenant de prouver que
lim
n→+∞
(a n b n ) l 1 L 2 .
(ii)
Si l 1 et L 2 sont finies, on trouve alors, en suivant le problème II.4.13, une
sous-suite {n k } telle que a n k < l 1 + ε et b n k < L 2 + ε. Ceci donne
a n k b n k < l 1 L 2 + ε(l 1 + L 2 ) + ε
2 .
Donc, lim
n→+∞
(a n b n ) l 1 L 2 + ε(l 1 + L 2 ) + ε 2 . On obtient (ii) en faisant tendre
ε vers 0 + . Si l 1 = +∞ ou L 2 = +∞, l’inégalité (ii) est alors évidente.
On donne maintenant des exemples de suites {a n } et {b n } pour lesquelles
les inégalités sont strictes. Soit
a n =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1 pour n = 4k,
2 pour n = 4k + 1,
3 pour n = 4k + 2,
2 pour n = 4k + 3,
b n =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
3 pour n = 4k,
2 pour n = 4k + 1,
2 pour n = 4k + 2,
1 pour n = 4k + 3.
Dans ce cas, nos inégalités sont de la forme 1 < 2 < 3 < 6 < 9.
II.4.18. Supposons que lim
n→+∞
a n = lim
n→+∞
a n = g. Alors, d’après II.4.13,
pour tout ε > 0, il existe k ∈ N
∗ tel que a n < g + ε si n > k
(i)
et
pour tout ε > 0, il existe k ∈ N
∗ tel que g − ε < a n si n > k.
(i’)
g est donc la limite de la suite {a n }.
D’autre part, si lim
n→+∞
a n = g, les conditions (i) et (ii) du problème II.4.13 (a) et (b) sont alors vérifiées avec L = g et l = g. Donc,
lim
n→+∞
a n = lim
n→+∞
a n = g.
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