Chapitre II. Suites de nombres réels
On a alors
lim
n→+∞
a
1
n + a
2
n + . . .
= 1 > 0 = lim
n→+∞
a
1
n + lim
n→+∞
a
2
n + . . .
On pose maintenant
a
m
n =
−1 pour n = m,
0
pour n = m.
On a dans ce cas
lim
n→+∞
a
1
n + a
2
n + . . .
= −1 < 0 = lim
n→+∞
a
1
n + lim
n→+∞
a
2
n + . . . .
II.4.17. On note
lim
n→+∞
a n = l 1 ,
lim
n→+∞
b n = l 2 ,
lim
n→+∞
a n = L 1 ,
lim
n→+∞
b n = L 2 .
On ne va prouver que l’inégalité
l 1 l 2 lim
n→+∞
(a n b n ) l 1 L 2 .
(1)
Le même raisonnement s’applique aux autres cas.
On suppose d’abord que l 1 et l 2 sont strictement positifs. D’après le problème II.4.13 (b), pour tout ε > 0, il existe n 0 tel que
a n > l 1 − ε, b n > l 2 − ε pour n > n 0 .
En conséquence, a n b n > l 1 l 2 − ε(l 1 + l 2 ) + ε 2 pour ε suffisamment petit pour
que l 1 − ε > 0 et l 2 − ε > 0. Donc, d’après le problème II.4.12 (c),
lim
n→+∞
(a n b n ) l 1 l 2 − ε(l 1 + l 2 ) + ε 2 . On obtient, en faisant tendre ε vers 0 + ,
l 1 l 2 lim
n→+∞
(a n b n ).
(i)
Si l 1 = 0 ou l 2 = 0, l’inégalité (i) est alors évidente. Si l 1 = +∞ et l 2 = +∞,
alors (d’après la condition (4) dans la solution du problème II.4.13), pour
tout réel strictement positif M donné, on peut trouver n 0 tel que
a n >
√
M, b n >
√
M pour n > n 0 .
Donc, a n b n > M ce qui implique lim
n→+∞
(a n b n ) = +∞.
On suppose maintenant qu’une des limites, mettons l 1 , est infinie et l’autre
est finie et strictement positive. Pour tout 0 < ε < l 2 et tout M > 0, il existe
alors un entier positif n 0 tel que, pour n > n 0 , on ait
b n > l 2 − ε, a n >
M
l 2 − ε
.
130