Solutions
n 0 tel que b n < L 2 + ε pour n > n 0 . Ceci implique a n k + b n k < l 1 + L 2 + 2ε
pour k suffisamment grand. D’après le problème II.4.12 (b), on obtient donc
lim
n→+∞
(a n + b n ) l 1 + L 2 + 2ε et, ε pouvant être choisi arbitrairement,
lim
n→+∞
(a n + b n ) lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n .
(2)
De même, pour tout ε > 0, il existe une sous-suite {b n k } telle que b n k > L 2 − ε
et il existe n 0 tel que a n > l 1 −ε pour n > n 0 . D’où, a n k +b n k > l 1 +L 2 −2ε pour
k suffisamment grand. D’après le problème II.4.12 (c), on a lim
n→+∞
(a n +b n )
l 1 + L 2 − 2ε et, ε pouvant être choisi arbitrairement, on conclut que
lim
n→+∞
(a n + b n ) lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n .
(3)
De plus, pour tout ε > 0, il existe k 1 tel que a n < L 1 + ε pour n > k 1 et il
existe k 2 tel que b n < L 2 + ε pour n > k 2 . Donc,
a n + b n < L 1 + L 2 + 2ε pour n > max {k 1 , k 2 } .
On obtient lim
n→+∞
(a n + b n ) L 1 + L 2 + 2ε, en combinant ce qui précède au
problème II.4.12 (a) et, ε pouvant être choisi arbitrairement,
lim
n→+∞
(a n + b n ) lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n .
(4)
On donne maintenant des exemples de suites {a n } et {b n } pour lesquelles
les inégalités (1)-(4) sont strictes. On pose
a n =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0 si n = 4k,
1 si n = 4k + 1,
2 si n = 4k + 2,
1 si n = 4k + 3,
b n =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
2 si n = 4k,
1 si n = 4k + 1,
1 si n = 4k + 2,
0 si n = 4k + 3.
Les inégalités données dans le problème sont alors dans ce cas de la forme
0 < 1 < 2 < 3 < 4.
II.4.16. Non. Il suffit de considérer les suites {a m
n }, m ∈ N ∗ , définies par
a
m
n =
1 pour n = m,
0 pour n = m.
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