Chapitre II. Suites de nombres réels
lim
n→+∞
b n = +∞. De même, si lim
n→+∞
b n = −∞, en combinant alors la condition (3) donnée dans la solution de II.4.13 avec l’inégalité a n b n , on obtient
lim
n→+∞
a n = −∞.
On suppose maintenant que chacune des limites est finie et on pose
lim
n→+∞
a n = l 1 et
lim
n→+∞
b n = l 2 .
On veut prouver que l 1 l 2 . Supposons au contraire que l 2 < l 1 . Soit ε > 0
suffisamment petit pour que l 2 + ε < c < l 1 − ε. D’après (ii) du problème II.4.13 (b), on a b n k < l 2 + ε < c. D’autre part, d’après (i), on a
c < l 1 − ε < a n , d’où, en particulier, c < a n k et l’inégalité b n k < a n k est donc
vérifiée pour une infinité d’indices n k , ce qui contredit nos hypothèses.
II.4.15. On pose
lim
n→+∞
a n = l 1 ,
lim
n→+∞
b n = l 2 ,
lim
n→+∞
a n = L 1 ,
lim
n→+∞
b n = L 2 .
On montre d’abord que
lim
n→+∞
(a n + b n ) lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n .
(1)
Supposons que l 1 et l 2 soient finies. D’après le problème II.4.13, pour tout
ε > 0, il existe k 1 tel que a n > l 1 − ε pour n > k 1 et il existe k 2 tel que
b n > l 2 − ε pour n > k 2 . Il en résulte que
a n + b n > l 1 + l 2 − 2ε pour n > max {k 1 , k 2 } .
On obtient lim
n→+∞
(a n + b n ) l 1 + l 2 − 2ε, en combinant ce qui précède avec le
problème II.4.12 (c), et on obtient (1) en faisant tendre ε vers 0 + .
Si l 1 ou l 2 sont égales à −∞, l’inégalité (1) est alors évidente. Montrons que
lim
n→+∞
(a n + b n ) = +∞ si une des limites l 1 ou l 2 est égale à +∞. Supposons,
par exemple, que l 1 = +∞. Ceci est équivalent à la condition (4) donnée dans
la solution du problème II.4.13 :
pour tout M ∈ R, il existe k ∈ N
∗ tel que a n > M si n > k.
(∗)
Puisque l 2 = −∞, la suite {b n } est minorée. La condition (∗) est donc vérifiée par {a n + b n }. Dit autrement, lim
n→+∞
(a n + b n ) = +∞ et on a prouvé
l’inégalité (1).
La démonstration des inégalités restantes se conduit de la même façon et
nous ne la donnons que dans le cas de limites finies. Selon le problème II.4.13,
pour tout ε > 0, il existe une sous-suite {a n k } telle que a n k < l 1 + ε et il existe
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lim
n→+∞
b n = +∞. De même, si lim
n→+∞
b n = −∞, en combinant alors la condition (3) donnée dans la solution de II.4.13 avec l’inégalité a n b n , on obtient
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n→+∞
a n = −∞.
On suppose maintenant que chacune des limites est finie et on pose
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n→+∞
a n = l 1 et
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n→+∞
b n = l 2 .
On veut prouver que l 1 l 2 . Supposons au contraire que l 2 < l 1 . Soit ε > 0
suffisamment petit pour que l 2 + ε < c < l 1 − ε. D’après (ii) du problème II.4.13 (b), on a b n k < l 2 + ε < c. D’autre part, d’après (i), on a
c < l 1 − ε < a n , d’où, en particulier, c < a n k et l’inégalité b n k < a n k est donc
vérifiée pour une infinité d’indices n k , ce qui contredit nos hypothèses.
II.4.15. On pose
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n→+∞
a n = l 1 ,
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n→+∞
b n = l 2 ,
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n→+∞
a n = L 1 ,
lim
n→+∞
b n = L 2 .
On montre d’abord que
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n→+∞
(a n + b n ) lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n .
(1)
Supposons que l 1 et l 2 soient finies. D’après le problème II.4.13, pour tout
ε > 0, il existe k 1 tel que a n > l 1 − ε pour n > k 1 et il existe k 2 tel que
b n > l 2 − ε pour n > k 2 . Il en résulte que
a n + b n > l 1 + l 2 − 2ε pour n > max {k 1 , k 2 } .
On obtient lim
n→+∞
(a n + b n ) l 1 + l 2 − 2ε, en combinant ce qui précède avec le
problème II.4.12 (c), et on obtient (1) en faisant tendre ε vers 0 + .
Si l 1 ou l 2 sont égales à −∞, l’inégalité (1) est alors évidente. Montrons que
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n→+∞
(a n + b n ) = +∞ si une des limites l 1 ou l 2 est égale à +∞. Supposons,
par exemple, que l 1 = +∞. Ceci est équivalent à la condition (4) donnée dans
la solution du problème II.4.13 :
pour tout M ∈ R, il existe k ∈ N
∗ tel que a n > M si n > k.
(∗)
Puisque l 2 = −∞, la suite {b n } est minorée. La condition (∗) est donc vérifiée par {a n + b n }. Dit autrement, lim
n→+∞
(a n + b n ) = +∞ et on a prouvé
l’inégalité (1).
La démonstration des inégalités restantes se conduit de la même façon et
nous ne la donnons que dans le cas de limites finies. Selon le problème II.4.13,
pour tout ε > 0, il existe une sous-suite {a n k } telle que a n k < l 1 + ε et il existe
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