Solutions
la suite contient au moins une sous-suite convergente. L’ensemble S des
valeurs d’adhérence de {a n } n’est donc pas vide. On va montrer que
L = sup S. En effet, si s est un élément de S, alors d’après (i), s L + ε
et, ε pouvant être choisi arbitrairement, on obtient s L. De plus, on
voit avec la condition (ii) que, pour tout ε > 0, il existe une sous-suite de
la suite {a n } convergente vers ˜
s et vérifiant l’inégalité L−ε ˜
s. Bien sûr,
˜
s ∈ S. La seconde implication est donc ainsi prouvée et la démonstration
est complète.
(b) On suit la même méthode qu’en (a).
On énonce maintenant des conditions nécessaires et suffisantes pour les limites
inférieure et supérieure infinies. La limite supérieure de {a n } est égale à +∞
si et seulement si la suite n’est pas majorée. Donc,
lim
n→+∞
a n = +∞ si et seulement si pour tout M ∈ R et
pour tout k ∈ N
∗ , il existe n k > k tel que a n k > M.
(1)
La limite supérieure de {a n } est égale à −∞ si et seulement si la suite est
majorée, par exemple par L, et l’ensemble de ses valeurs d’adhérence est vide.
Il existe donc un nombre fini de termes de {a n } dans chaque segment [M, L].
D’où, a n < M pour tout n suffisamment grand. Ceci implique
lim
n→+∞
a n = −∞ si et seulement si pour tout M ∈ R,
il existe k ∈ N
∗ tel que a n < M pour tout n > k.
(2)
Des arguments semblables donnent
lim
n→+∞
a n = −∞ si et seulement si pour tout M ∈ R et
pour tout k ∈ N
∗ , il existe n k > k tel que a n k < M,
(3)
lim
n→+∞
a n = +∞ si et seulement si pour tout M ∈ R,
il existe k ∈ N
∗ tel que a n > M pour tout n > k.
(4)
II.4.14. On ne prouve que l’inégalité (a), la démonstration de l’inégalité (b)
étant semblable. L’inégalité (a) est évidente dans le cas où lim
n→+∞
b n = +∞ ou
lim
n→+∞
a n = −∞. Si lim
n→+∞
a n = +∞, en combinant alors la condition (4)
donnée dans la solution de II.4.13 avec l’inégalité a n b n , on obtient
127
la suite contient au moins une sous-suite convergente. L’ensemble S des
valeurs d’adhérence de {a n } n’est donc pas vide. On va montrer que
L = sup S. En effet, si s est un élément de S, alors d’après (i), s L + ε
et, ε pouvant être choisi arbitrairement, on obtient s L. De plus, on
voit avec la condition (ii) que, pour tout ε > 0, il existe une sous-suite de
la suite {a n } convergente vers ˜
s et vérifiant l’inégalité L−ε ˜
s. Bien sûr,
˜
s ∈ S. La seconde implication est donc ainsi prouvée et la démonstration
est complète.
(b) On suit la même méthode qu’en (a).
On énonce maintenant des conditions nécessaires et suffisantes pour les limites
inférieure et supérieure infinies. La limite supérieure de {a n } est égale à +∞
si et seulement si la suite n’est pas majorée. Donc,
lim
n→+∞
a n = +∞ si et seulement si pour tout M ∈ R et
pour tout k ∈ N
∗ , il existe n k > k tel que a n k > M.
(1)
La limite supérieure de {a n } est égale à −∞ si et seulement si la suite est
majorée, par exemple par L, et l’ensemble de ses valeurs d’adhérence est vide.
Il existe donc un nombre fini de termes de {a n } dans chaque segment [M, L].
D’où, a n < M pour tout n suffisamment grand. Ceci implique
lim
n→+∞
a n = −∞ si et seulement si pour tout M ∈ R,
il existe k ∈ N
∗ tel que a n < M pour tout n > k.
(2)
Des arguments semblables donnent
lim
n→+∞
a n = −∞ si et seulement si pour tout M ∈ R et
pour tout k ∈ N
∗ , il existe n k > k tel que a n k < M,
(3)
lim
n→+∞
a n = +∞ si et seulement si pour tout M ∈ R,
il existe k ∈ N
∗ tel que a n > M pour tout n > k.
(4)
II.4.14. On ne prouve que l’inégalité (a), la démonstration de l’inégalité (b)
étant semblable. L’inégalité (a) est évidente dans le cas où lim
n→+∞
b n = +∞ ou
lim
n→+∞
a n = −∞. Si lim
n→+∞
a n = +∞, en combinant alors la condition (4)
donnée dans la solution de II.4.13 avec l’inégalité a n b n , on obtient
127