Chapitre II. Suites de nombres réels
II.4.12.
(a) Si l’ensemble S des valeurs d’adhérence de {a n } est vide, alors lim
n→+∞
a n =
−∞ A. On suppose donc que S n’est pas vide. Puisque S est fermé
(voir le problème II.4.9), sup S = lim
n→+∞
a n = L ∈ S. La définition d’une valeur d’adhérence implique qu’il existe une sous-suite {a n k }
convergente vers L. Donc, pour tout ε > 0, il existe k 0 ∈ N ∗ tel que
L − ε < a n k A
pour k > k 0 .
Puisque ε peut être choisi arbitrairement, on obtient L A.
(b) Si la suite {a n } n’est pas minorée, alors lim
n→+∞
a n = −∞ A. On
suppose donc que la suite {a n } est minorée, autrement dit, il existe
B ∈ R tel que a n B pour tout n ∈ N ∗ . De plus, par hypothèse, il
existe une suite n k , n k > k, telle que a n k A. Donc, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass (voir II.4.30), la suite {a n k } contient une
sous-suite convergente. On note g sa limite et on a alors B g A.
L’ensemble S des valeurs d’adhérence de {a n } n’est donc pas vide et
lim
n→+∞
a n = inf S g A.
(c) Il suffit d’appliquer l’argument présenté dans la démonstration de (a).
(d) Il suffit d’utiliser la même idée que dans la démonstration de (b).
II.4.13.
(a) Soit L = lim
n→+∞
a n . On suppose que (i) n’est pas vérifiée, contrairement à ce qui doit être prouvé. Il existe alors ε > 0 tel que, pour tout
k ∈ N ∗ , il existe n > k pour lequel a n L + ε. Donc, d’après le problème II.4.12 (d), lim
n→+∞
a n L + ε, ce qui contredit notre hypothèse.
On suppose maintenant que (ii) n’est pas vérifiée. Il existe alors ε > 0
et k ∈ N ∗ tels que a n L − ε pour tout n > k. Avec II.4.12 (a), on
obtient lim
n→+∞
a n L − ε, ce qui contredit à nouveau notre hypothèse.
On a donc prouvé que L = lim
n→+∞
a n implique les conditions (i) et (ii).
On prouve maintenant que les conditions (i) et (ii) impliquent
lim
n→+∞
a n = L. La condition (i) implique que la suite {a n } est majorée.
D’autre part, la condition (ii) implique que la suite contient une soussuite minorée. D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass (voir II.4.30),
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II.4.12.
(a) Si l’ensemble S des valeurs d’adhérence de {a n } est vide, alors lim
n→+∞
a n =
−∞ A. On suppose donc que S n’est pas vide. Puisque S est fermé
(voir le problème II.4.9), sup S = lim
n→+∞
a n = L ∈ S. La définition d’une valeur d’adhérence implique qu’il existe une sous-suite {a n k }
convergente vers L. Donc, pour tout ε > 0, il existe k 0 ∈ N ∗ tel que
L − ε < a n k A
pour k > k 0 .
Puisque ε peut être choisi arbitrairement, on obtient L A.
(b) Si la suite {a n } n’est pas minorée, alors lim
n→+∞
a n = −∞ A. On
suppose donc que la suite {a n } est minorée, autrement dit, il existe
B ∈ R tel que a n B pour tout n ∈ N ∗ . De plus, par hypothèse, il
existe une suite n k , n k > k, telle que a n k A. Donc, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass (voir II.4.30), la suite {a n k } contient une
sous-suite convergente. On note g sa limite et on a alors B g A.
L’ensemble S des valeurs d’adhérence de {a n } n’est donc pas vide et
lim
n→+∞
a n = inf S g A.
(c) Il suffit d’appliquer l’argument présenté dans la démonstration de (a).
(d) Il suffit d’utiliser la même idée que dans la démonstration de (b).
II.4.13.
(a) Soit L = lim
n→+∞
a n . On suppose que (i) n’est pas vérifiée, contrairement à ce qui doit être prouvé. Il existe alors ε > 0 tel que, pour tout
k ∈ N ∗ , il existe n > k pour lequel a n L + ε. Donc, d’après le problème II.4.12 (d), lim
n→+∞
a n L + ε, ce qui contredit notre hypothèse.
On suppose maintenant que (ii) n’est pas vérifiée. Il existe alors ε > 0
et k ∈ N ∗ tels que a n L − ε pour tout n > k. Avec II.4.12 (a), on
obtient lim
n→+∞
a n L − ε, ce qui contredit à nouveau notre hypothèse.
On a donc prouvé que L = lim
n→+∞
a n implique les conditions (i) et (ii).
On prouve maintenant que les conditions (i) et (ii) impliquent
lim
n→+∞
a n = L. La condition (i) implique que la suite {a n } est majorée.
D’autre part, la condition (ii) implique que la suite contient une soussuite minorée. D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass (voir II.4.30),
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