Solutions
(g) lim
n→+∞
a n = 1 et lim
n→+∞
a n = 2.
(h) La suite n’est pas majorée puisque a 3k = 2 3k −−−−→
k→+∞
+∞. De plus,
S = {−1, 1}. Donc, lim
n→+∞
a n = −1 et lim
n→+∞
a n = +∞.
(i) On montre que lim
n→+∞
n
ln n = +∞. En effet, en appliquant le théorème de
Stolz (voir II.3.11), on obtient
lim
n→+∞
ln n
n
= lim
n→+∞
ln n − ln(n − 1)
n − n + 1
= lim
n→+∞
ln
1 +
1
n − 1
= 0.
Ceci montre que
lim
k→+∞
a 2k = lim
k→+∞
ln(2k) − 4k
ln 2 + ln(2k)
= −∞.
La suite {a n } n’est donc pas minorée. De plus,
lim
k→+∞
a 2k+1 = lim
k→+∞
ln(2k + 1)
ln 2 + ln(2k + 1)
= 1.
Ceci donne lim
n→+∞
a n = −∞ et lim
n→+∞
a n = 1.
II.4.11. Il suffit d’appliquer le problème II.4.7.
(a) lim
n→+∞
a n = min S = 0 et lim
n→+∞
a n = max S, où
S =
0,
p
q
−
p
q
,
2p
q
−
2p
q
, . . . ,
(q − 1)p
q
−
(q − 1)p
q
.
(b) lim
n→+∞
a n = 0 et lim
n→+∞
a n = 1.
(c) lim
n→+∞
a n = min S et lim
n→+∞
a n = max S, où S est l’ensemble de toutes
les valeurs d’adhérence de la suite décrite en II.4.7 (c).
(d) lim
n→+∞
a n = −1 et lim
n→+∞
a n = 1.
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