Chapitre II. Suites de nombres réels
Puisque s k est une valeur d’adhérence de la suite {a n }, il existe a n k tel que
|a n k − s k | <
1
2 k−1 |s 1 − s|. Donc,
|a n k − s| |a n k − s k | + |s k − s| <
1
2 k−2 |s 1 − s| ,
ce qui implique que s est une valeur d’adhérence de la sous-suite {a n k } et que
s ∈ S.
II.4.10. Soit S l’ensemble des valeurs d’adhérence de {a n }.
(a) La suite {a n } est bornée. D’après II.4.6, S = {0,
1
7 ,
2
7 ,
4
7 }. Donc,
lim
n→+∞
a n = 0 et lim
n→+∞
a n =
4
7 .
(b) On a S = {−1, −
1
2 ,
1
2 , 1} ce qui donne lim
n→+∞
a n = −1 et lim
n→+∞
a n = 1,
la suite étant bornée.
(c) La suite n’est pas bornée et l’ensemble de ses valeurs d’adhérence est
vide, donc
lim
n→+∞
a n = −∞ et
lim
n→+∞
a n = +∞.
(d) La suite n’est pas majorée car la sous-suite a 2k = (2k)
2k tend vers +∞.
La sous-suite d’indices impairs tend vers 0. Ceci montre que
lim
n→+∞
a n = 0 et
lim
n→+∞
a n = +∞.
(e) La suite n’est pas bornée car
a 4k+1 = 4k + 2 −−−−→
k→+∞
+∞
et
a 4k+3 = −4k − 2 −−−−→
k→+∞
−∞.
En conséquence, lim
n→+∞
a n = −∞ et lim
n→+∞
a n = +∞.
(f) Il est clair que la suite est bornée. De plus,
S =
−e −
√ 2
2
, −e +
√ 2
2
, e − 1, e, e + 1
.
Il s’ensuit que
lim
n→+∞
a n = −e −
√
2
2
et
lim
n→+∞
a n = e + 1.
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