Solutions
Si α ∈ Z, la suite est alors constante. En prenant α ∈ Q \ Z, on peut
écrire
α = [α] + (α − [α]) et α − [α] ∈ ]0 , 1[ .
Donc, sin nπα = (−1) [α] sin(α − [α])nπ et ce cas peut se ramener au cas
particulier traité précédemment.
(d) Soit t ∈ [−1 , 1]. Il existe alors x ∈ R + tel que sin x = −t. On peut
réduire nos considérations au cas α > 0 car la fonction sinus est une
fonction impaire. Puisque α est irrationnel, il existe deux suites d’entiers
strictement positifs {p n } et {q n } telles que
x
2π
= lim
n→+∞
p n − q n
α
2
,
(voir la solution du problème I.1.21). Donc, x = lim
n→+∞
(2πp n − απq n ).
On obtient par continuité et périodicité de la fonction sinus
−t = sin x = lim
n→+∞
sin(2πp n − απq n ) = − lim
n→+∞
sin απq n .
Il découle de ce qui précède que tout nombre dans l’intervalle [−1 , 1] est
une valeur d’adhérence de la suite.
II.4.8. On montre que dans tout intervalle ]a , b[ se trouve au moins un terme
de notre suite. Puisque lim
n→+∞
3
√
n + 1 −
3
√ n
= 0, il existe n 0 ∈ N ∗ tel que
3
√
n + 1 −
3
√
n < b − a pour n > n 0 .
Soit m 0 un entier tel que
3
√ m 0 >
3
√
n 0 − a et A =
n ∈ N ∗ :
3
√
n −
3
√ m 0 a
.
L’ensemble A est non vide (par exemple, n 0 ∈ A) et majoré. En posant n 1 =
max A et n 2 = n 1 + 1, on obtient
3
√ n 2 −
3
√ m 0 > a et
3
√ n 2 > a +
3
√ m 0 >
3
√ n 0 .
Donc, n 2 > n 0 et
3
√ n 2 <
3
√
n 1 +b−a
3
√ m 0 +a+b−a ou, de façon équivalente,
a <
3
√
n 2 −
3
√ m 0 < b.
II.4.9. Le fait que l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite bornée soit
borné est évident. On note S l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite
{a n }. Si S est fini, alors il est fermé. On suppose donc que S est infini et on
appelle s une de ses valeurs d’adhérence. On définit la suite {s k } d’éléments de
S de la façon suivante : on prend pour s 1 n’importe quel élément de S différent
de s. On choisit pour s 2 n’importe quel élément de S différent de s tel que
|s 2 − s|
1
2 |s 1 − s| et, par récurrence, |s k+1 − s|
1
2 |s k − s|, s k+1 = s. Une
telle suite {s k } vérifie la condition suivante :
|s k − s|
1
2 k−1 |s 1 − s| , k ∈ N
∗ .
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Si α ∈ Z, la suite est alors constante. En prenant α ∈ Q \ Z, on peut
écrire
α = [α] + (α − [α]) et α − [α] ∈ ]0 , 1[ .
Donc, sin nπα = (−1) [α] sin(α − [α])nπ et ce cas peut se ramener au cas
particulier traité précédemment.
(d) Soit t ∈ [−1 , 1]. Il existe alors x ∈ R + tel que sin x = −t. On peut
réduire nos considérations au cas α > 0 car la fonction sinus est une
fonction impaire. Puisque α est irrationnel, il existe deux suites d’entiers
strictement positifs {p n } et {q n } telles que
x
2π
= lim
n→+∞
p n − q n
α
2
,
(voir la solution du problème I.1.21). Donc, x = lim
n→+∞
(2πp n − απq n ).
On obtient par continuité et périodicité de la fonction sinus
−t = sin x = lim
n→+∞
sin(2πp n − απq n ) = − lim
n→+∞
sin απq n .
Il découle de ce qui précède que tout nombre dans l’intervalle [−1 , 1] est
une valeur d’adhérence de la suite.
II.4.8. On montre que dans tout intervalle ]a , b[ se trouve au moins un terme
de notre suite. Puisque lim
n→+∞
3
√
n + 1 −
3
√ n
= 0, il existe n 0 ∈ N ∗ tel que
3
√
n + 1 −
3
√
n < b − a pour n > n 0 .
Soit m 0 un entier tel que
3
√ m 0 >
3
√
n 0 − a et A =
n ∈ N ∗ :
3
√
n −
3
√ m 0 a
.
L’ensemble A est non vide (par exemple, n 0 ∈ A) et majoré. En posant n 1 =
max A et n 2 = n 1 + 1, on obtient
3
√ n 2 −
3
√ m 0 > a et
3
√ n 2 > a +
3
√ m 0 >
3
√ n 0 .
Donc, n 2 > n 0 et
3
√ n 2 <
3
√
n 1 +b−a
3
√ m 0 +a+b−a ou, de façon équivalente,
a <
3
√
n 2 −
3
√ m 0 < b.
II.4.9. Le fait que l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite bornée soit
borné est évident. On note S l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite
{a n }. Si S est fini, alors il est fermé. On suppose donc que S est infini et on
appelle s une de ses valeurs d’adhérence. On définit la suite {s k } d’éléments de
S de la façon suivante : on prend pour s 1 n’importe quel élément de S différent
de s. On choisit pour s 2 n’importe quel élément de S différent de s tel que
|s 2 − s|
1
2 |s 1 − s| et, par récurrence, |s k+1 − s|
1
2 |s k − s|, s k+1 = s. Une
telle suite {s k } vérifie la condition suivante :
|s k − s|
1
2 k−1 |s 1 − s| , k ∈ N
∗ .
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