Chapitre II. Suites de nombres réels
II.4.7.
(a) Soit α =
p
q , p ∈ Z, q ∈ N ∗ , p et q étant premiers entre eux. On a alors
a kq = 0 et a kq+l = kp +
lp
q
−
kp +
lp
q
+ r
=
lp
q
−
lp
q
,
où l = 1, 2, . . . , q − 1 et r =
lp
q −
lp
q
. Donc
S =
0,
p
q
−
p
q
,
2p
q
−
2p
q
, . . . ,
(q − 1)p
q
−
(q − 1)p
q
.
(b) On montre que tout réel x ∈ [0 , 1] est valeur d’adhérence de la suite
{nα − [nα]}. D’après le problème I.1.20, il existe p n ∈ Z et q n ∈ N ∗
tels que 0 < α−
pn
qn <
1
q 2
n
. Puisque lim
n→+∞
q n = +∞, lim
n→+∞
(αq n − p n ) = 0.
Soit x ∈ ]0 , 1[ et ε > 0 suffisamment petit pour que 0 < x−ε < x+ε < 1.
On suppose que n 1 est suffisamment grand pour que
0 < αq n 1 − p n 1 <
1
q n 1
< ε.
Il existe alors n 0 ∈ N ∗ tel que
n 0 (αq n 1 − p n 1 ) ∈ ]x − ε , x + ε[ ,
(1)
(voir la solution du problème I.1.21).
La relation (1) implique [n 0 αq n 1 − n 0 p n 1 ] = 0, ce qui est équivalent à
n 0 p n 1 = [n 0 αq n 1 ]. Le terme n 0 αq n 1 − [n 0 αq n 1 ] qui appartient à notre
suite appartient donc à l’intervalle ]x − ε , x + ε[, ce qui signifie que x est
une valeur d’adhérence de la suite considérée. On peut prouver de façon
semblable que 0 et 1 sont aussi des valeurs d’adhérence.
(c) On suppose d’abord que α est un nombre rationnel de l’intervalle ]0 , 1[.
Soit α =
p
q , p et q étant premiers entre eux, p < q. On a alors
a 2kq = a 2kq+q = 0 et
a 2kq+l = sin
lpπ
q
pour l = 1, 2, . . . , q − 1, q + 1, . . . , 2q − 1.
D’où,
S =
0, sin
pπ
q
, sin
2pπ
q
, . . . , sin
(q − 1)pπ
q
.
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