Solutions
II.4.5. On suppose que la suite {a n } ne converge pas vers a. Il existe alors
ε > 0 tel que, pour tout entier k strictement positif, il existe n k > k vérifiant
|a n k − a| ε. Si l’on suppose que n k est le minimum de ces nombres, la suite
{n k } est alors croissante. De plus, lim
k→+∞
n k = +∞. Une telle suite {a n k } ne
contient aucune sous-suite convergente vers a, ce qui contredit l’hypothèse. La
suite {a n } converge donc vers a.
II.4.6.
(a) Il est évident que 1 est la seule valeur d’adhérence. S est donc réduit à
un singleton, S = {1}.
(b) On a a 3k = 0, a 3k+1 = 1 et a 3k+2 = 0. Donc, d’après le problème II.4.3,
l’ensemble S des valeurs d’adhérence de cette suite est l’ensemble {0, 1}.
(c) On a
a 2k =
1
2 2k + 3
et a 2k+1 =
2 2k+2 + 1
2 2k+1 + 3
.
Donc, S = {0, 2}.
(d) On a
a 2k =
2 ln(6k) + ln(2k)
ln(4k)
et a 2k+1 =
ln(2k + 1)
ln(2(2k + 1))
.
Donc, S = {1, 3}.
(e) On a
a 6k = 1,
a 6k+1 = (0,5)
6k+1 ,
a 6k+2 = (−0,5)
6k+2 ,
a 6k+3 = −1,
a 6k+4 = (−0,5)
6k+4 ,
a 6k+5 = (0,5)
6k+5 .
Donc, S = {−1, 0, 1}.
(f) On a
a 7k = 0,
a 7k+1 =
2
7
,
a 7k+2 =
1
7
,
a 7k+3 =
4
7
,
a 7k+4 =
4
7
,
a 7k+5 =
1
7
,
a 7k+6 =
2
7
.
Donc, S = {0,
1
7 ,
2
7 ,
4
7 }.
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