Chapitre II. Suites de nombres réels
nombres premiers et une sous-suite d’indices des nombres composés. (Notez qu’il existe une infinité de nombres premiers. En effet, si p 1 , p 2 , . . . , p n
sont premiers, p 1 < p 2 < · · · < p n et s’il n’y a pas de nombre premier
plus grand que p n , alors p 1 p 2 · · · p n + 1 > p n est aussi premier car il
n’admet pas de diviseurs, exceptés lui-même et 1. Contradiction.)
II.4.2. Non. On définit la suite {a n } en posant
a n =
0 si n est un nombre premier,
1 si n est un nombre composé.
Toute sous-suite {a sn }, s > 1, n 2, est une suite constante et donc convergente. Pour autant, la suite {a n } est divergente (voir la solution du problème II.4.1 (b)).
II.4.3. Évidemment, on a S p ∪ S q ∪ · · · ∪ S s ⊂ S. Pour obtenir l’inclusion
réciproque, on suppose que x /
∈ S p ∪ S q ∪ · · · ∪ S s . Il existe alors des réels
strictement positifs ε p , ε q , . . ., ε s et des entiers positifs n p , n q , . . ., n s tels que
n > n p implique |x − a pn | > ε p ,
n > n q implique |x − a qn | > ε q ,
. . . . . . . . .
n > n s implique |x − a sn | > ε s .
En prenant ε = min {ε p , ε q , . . . , ε s } et m = max
p np , q nq , . . . , s ns
, on obtient
|x − a n | > ε pour n > m. Ceci implique que x n’est pas une valeur d’adhérence
de la suite {a n }. Donc,
S ⊂ S p ∪ S q ∪ · · · ∪ S s .
L’égalité S = S p ∪ S q ∪ · · · ∪ S s implique que si toutes les sous-suites {a np },
{a nq }, . . ., {a ns } convergent vers a, la suite {a n } converge alors aussi vers a.
II.4.4. Non. On définit la suite {a n } en posant
a n =
0 si n = 2 k , k ∈ N,
1 sinon.
Chaque sous-suite
{a 2k−1 }, {a 2(2k−1) }, {a 2 2 (2k−1) }, . . . , {a 2 m (2k−1) }, . . .
converge vers 1, mais la suite {a n } diverge.
120
nombres premiers et une sous-suite d’indices des nombres composés. (Notez qu’il existe une infinité de nombres premiers. En effet, si p 1 , p 2 , . . . , p n
sont premiers, p 1 < p 2 < · · · < p n et s’il n’y a pas de nombre premier
plus grand que p n , alors p 1 p 2 · · · p n + 1 > p n est aussi premier car il
n’admet pas de diviseurs, exceptés lui-même et 1. Contradiction.)
II.4.2. Non. On définit la suite {a n } en posant
a n =
0 si n est un nombre premier,
1 si n est un nombre composé.
Toute sous-suite {a sn }, s > 1, n 2, est une suite constante et donc convergente. Pour autant, la suite {a n } est divergente (voir la solution du problème II.4.1 (b)).
II.4.3. Évidemment, on a S p ∪ S q ∪ · · · ∪ S s ⊂ S. Pour obtenir l’inclusion
réciproque, on suppose que x /
∈ S p ∪ S q ∪ · · · ∪ S s . Il existe alors des réels
strictement positifs ε p , ε q , . . ., ε s et des entiers positifs n p , n q , . . ., n s tels que
n > n p implique |x − a pn | > ε p ,
n > n q implique |x − a qn | > ε q ,
. . . . . . . . .
n > n s implique |x − a sn | > ε s .
En prenant ε = min {ε p , ε q , . . . , ε s } et m = max
p np , q nq , . . . , s ns
, on obtient
|x − a n | > ε pour n > m. Ceci implique que x n’est pas une valeur d’adhérence
de la suite {a n }. Donc,
S ⊂ S p ∪ S q ∪ · · · ∪ S s .
L’égalité S = S p ∪ S q ∪ · · · ∪ S s implique que si toutes les sous-suites {a np },
{a nq }, . . ., {a ns } convergent vers a, la suite {a n } converge alors aussi vers a.
II.4.4. Non. On définit la suite {a n } en posant
a n =
0 si n = 2 k , k ∈ N,
1 sinon.
Chaque sous-suite
{a 2k−1 }, {a 2(2k−1) }, {a 2 2 (2k−1) }, . . . , {a 2 m (2k−1) }, . . .
converge vers 1, mais la suite {a n } diverge.
120