Solutions
La suite {a n } converge donc vers 0 alors que la suite transformée {b n } admet
une sous-suite {b n k } divergente. On obtient une contradiction et la condition
(iii) est aussi vérifiée.
II.4. Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite
inférieure
II.4.1.
(a) On montre d’abord que les sous-suites données ont une limite commune.
On pose lim
k→+∞
a 2k = a, lim
k→+∞
a 2k+1 = b et lim
k→+∞
a 3k = c. On a alors
lim
k→+∞
a 6k = a = c et lim
k→+∞
a 6k+3 = b = c. Donc a = b = c. On prouve
alors que la suite {a n } converge aussi vers a. Étant donné ε > 0, il existe
des entiers positifs k 1 et k 2 tels que
k > k 1 implique |a 2k − a| < ε,
k > k 2 implique |a 2k+1 − a| < ε.
Donc,
n > n 0 = max {2k 1 , 2k 2 + 1} implique |a n − a| < ε.
(b) Non. On considère la suite {a n } définie par a n = (−1) n . On a alors
lim
k→+∞
a 2k = 1, lim
k→+∞
a 2k+1 = −1 et lim
n→+∞
a n n’existe pas.
On considère maintenant la suite {a n } définie par
a n =
0 si n = 2 k , k ∈ N,
1 sinon.
On a alors lim
k→+∞
a 3k = 1, lim
k→+∞
a 2k+1 = 1 mais lim
k→+∞
a 2k n’existe pas
et bien sûr la suite {a n } diverge.
On considère enfin une troisième suite :
a n =
0 si n est un nombre premier,
1 si n est un nombre composé.
Pour cette suite, on a lim
k→+∞
a 3k = 1 et lim
k→+∞
a 2k = 1 mais lim
k→+∞
a 2k+1
n’existe pas car la suite {a 2k+1 } contient une sous-suite d’indices des
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