Chapitre II. Suites de nombres réels
que
n C
k=1
|c n C ,k | C. En fait, étant donné C > 0, il existe une infinité de tels indices n C . Soit n 1 le plus petit entier strictement positif tel que
n 1
k=1
|c n 1 ,k | > 10 2 .
On définit les n 1 premiers termes de {a n } en posant
sgn c n 1 ,k = sgn a k et |a k | =
1
10
.
On a alors
b n 1 =
n 1
k=1
c n 1 ,k a k =
n 1
k=1
1
10
|c n 1 ,k | > 10.
D’après (i), il existe n 0 tel que
n 1
k=1
|c n,k | < 1 pour n n 0 .
En conséquence,
n 1
k=1
c n,k a k
<
1
10
pour n n 0 .
On prend maintenant le plus petit entier n 2 tel que n 2 max {n 0 , n 1 } et
n 2
k=1
|c n 2 ,k | > 10 4 + 1 + 10. On définit les termes de {a n } en posant
sgn c n 2 ,k = sgn a k et |a k | =
1
10 2 pour n 1 + 1 k n 2 .
On a
b n 2 =
n 2
k=1
c n 2 ,k a k =
n 1
k=1
c n 2 ,k a k +
n 2
k=n 1 +1
c n 2 ,k a k
=
n 1
k=1
c n 2 ,k a k +
1
10 2
n 2
k=n 1 +1
|c n 2 ,k | .
On déduit de ce qui précède que
b n 2 > −
1
10
+
1
10 2
10
4
+ 1 + 10 − 1
= 10
2 .
On peut construire de façon récursive la suite {a n } dont les termes d’indices
compris entre n k−1 + 1 et n k sont égaux soit à +
1
10 k , soit à −
1
10 k . La suite
transformée {b n } vérifie alors
b n k > 10
k pour k ∈ N
∗ .
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