Solutions
II.3.23.
(a) 1,
(b) e −2 ,
(c) e −2 ,
(d) e 3 .
(e) On a
lim
n→+∞
k
√ n
n
√
n!
=
e pour k = 1,
0 pour k > 1.
II.3.24. D’après le théorème de Stolz (voir II.3.11),
lim
n→+∞
n
k=1
a k
k
ln n
= lim
n→+∞
a n+1
ln
1 +
1
n
n+1 = a.
II.3.25. On vérifie facilement que
a 1 = A 1 , a 2 = 2A 2 − A 1 , a n = nA n − (n − 1)A n−1 , n 2.
Donc,
lim
n→+∞
n
k=1
a k
k
ln n
= lim
n→+∞
1
2 A 1 +
1
3 A 2 + · · · +
1
n A n−1 + A n
ln n
= A,
la dernière égalité se déduisant du problème précédent.
II.3.26. [O. Toeplitz, Prace Matematyczno-Fizyczne, 22(1911), 113-119]. Soit
{a n } la suite constante dont tous les termes sont égaux à 1. On a lim
n→+∞
a n = 1
et b n =
n
k=1
c n,k a k =
n
k=1
c n,k . Donc 1 = lim
n→+∞
b n = lim
n→+∞
n
k=1
c n,k . La condition (ii) est ainsi vérifiée. On considère maintenant une suite
a
(k)
n
dont le
k-ième terme est égal à 1, les autres étant nuls. On a alors lim
n→+∞
a
(k)
n = 0 et
0 = lim
n→+∞
b n = lim
n→+∞
c n,k . La condition (i) est donc aussi vérifiée. Supposons
alors que la condition (iii) n’est pas vérifiée. Pour tout C > 0, il existe n C tel
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