Chapitre II. Suites de nombres réels
II.3.19. Puisque b n = 2a n + a n−1 , a n =
bn−a n−1
2
et a n−1 =
b n−1 −a n−2
2
. Donc,
a n =
2bn−b n−1 +a n−2
2 2
. Une application répétée de cette procédure n − 1 fois
donne
a n =
2 n−1 b n − 2 n−2 b n−1 + · · · + (−1) n−2 2 1 b 2 + (−1) n−1 a 1
2 n
.
Donc, d’après II.3.16 (b), lim
n→+∞
a n =
1
3 b.
II.3.20. On pose c n = (a 1 · · · a n )n nx . On a alors
c n+1
c n
=
1 +
1
n
nx
(n + 1)
x a n+1 − −−−− →
n→+∞
e
x a.
Donc, d’après II.3.7, lim
n→+∞
n x (a 1 · · · a n )
1
n = e x a.
II.3.21.
(a) On applique le théorème de Stolz à x n = 1 +
1
2 + · · · +
1
n et y n = ln n.
Cela donne
x n − x n−1
y n − y n−1
=
1
ln
1 +
1
n−1
n − −−−− →
n→+∞
1,
car lim
n→+∞
ln
1 +
1
n
n = 1, ce qui se déduit des inégalités
1 +
1
n
n < e <
1 +
1
n
n+1 (voir II.1.41).
(b) La limite est
1
2 (voir la solution de (a)).
II.3.22. On applique le théorème de Stolz à
x n =
a 1
1
+
a 2
2
+ · · · +
a n
n
et y n = ln n.
On a
x n − x n−1
y n − y n−1
=
a n
ln
1 +
1
n−1
n − −−−− →
n→+∞
a.
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