Chapitre II. Suites de nombres réels
Supposons maintenant que lim
n→+∞
a n = +∞. Les propositions (1)
et (4) de la solution du problème II.4.13 sont évidentes. Si
lim
n→+∞
a n = lim
n→+∞
a n = +∞, la condition (4) signifie que lim
n→+∞
a n = +∞.
Des arguments semblables s’appliquent au cas lim
n→+∞
a n = −∞.
II.4.19. D’après le problème II.4.15,
lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n lim
n→+∞
(a n + b n ) lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
b n .
D’autre part, d’après le problème précédent, a = lim
n→+∞
a n = lim
n→+∞
a n . Donc,
lim
n→+∞
(a n + b n ) = a + lim
n→+∞
b n . La démonstration de la seconde inégalité se
déroule de la même façon.
II.4.20. On peut appliquer la même méthode que celle utilisée dans la
solution du problème précédent en utilisant l’inégalité donnée au problème II.4.17.
II.4.21. On va appliquer le problème II.4.13. On note lim
n→+∞
a n = L. Les
conditions (i) et (ii) du problème II.4.13 (a) sont vérifiées. En multipliant
chaque membre des inégalités de (i) et (ii) par −1, on obtient :
pour tout ε > 0, il existe k ∈ N
∗ tel que pour tout n > k, −L − ε < −a n (i)
et
pour tout ε > 0 et k ∈ N
∗ , il existe n k > k tel que −a n k < −L + ε.
(ii)
On obtient avec II.4.13 (b)
lim
n→+∞
(−a n ) = −L = − lim
n→+∞
a n .
La démonstration de la seconde égalité se fait comme ci-dessus. Dans le cas
de limites infinies, il suffit d’appliquer les propositions (1)-(4) données dans la
solution du problème II.4.13.
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