Solutions
II.3.11. Pour n > 1, on pose
a n =
x n − x n−1
y n − y n−1
, b n = y n − y n−1
et on applique le résultat du problème précédent.
II.3.12.
(a) On prend dans II.3.10 x n = 1 +
1
√ 2
+ · · · +
1
√
n
et y n =
√
n et on montre
que la limite est égale à 2.
(b) On pose
x n = a +
a 2
2
+ · · · +
a n
n
, y n =
a n+1
n
.
À partir d’une certaine valeur de l’indice n, la suite {y n } est strictement
croissante. Avec II.2.31 (b), on voit que lim
n→+∞
y n = +∞. Donc
lim
n→+∞
n
a n+1
a +
a 2
2
+ · · · +
a n
n
=
1
a − 1
.
(c) On peut appliquer le théorème de Stolz (voir II.3.11) aux suites
x n = k! +
(k + 1)!
1!
+ · · · +
(k + n)!
n!
, y n = n
k+1 .
On a
lim
n→+∞
x n − x n−1
y n − y n−1
= lim
n→+∞
(n + 1)(n + 2) · · · (n + k)
n k+1 − (n − 1) k+1
= lim
n→+∞
1 +
1
n
· · ·
1 +
k
n
n
1 −
1 −
1
n
k+1
= lim
n→+∞
1 +
1
n
· · ·
1 +
k
n
1 +
1 −
1
n
+ · · · +
1 −
k
n
k
=
1
k + 1
.
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