Chapitre II. Suites de nombres réels
On peut supposer, sans perte de généralité, que tous les termes a n sont
strictement positifs. On pose n 2 = max {n 0 , n 1 }. Alors,
n
k=1
c n,k a k =
n 2
k=1
c n,k a k +
n
k=n 2
c n,k a k
n 2
k=1
c n,k a k + M M
et {b n } diverge vers +∞.
II.3.4. Il s’agit d’un cas particulier de II.3.3. On prend c n,k =
1
n pour
k = 1, 2, . . . , n.
II.3.5. On applique le théorème de Toeplitz (voir II.3.1) en prenant
c n,k =
2(n−k+1)
n 2
.
II.3.6. On utilise l’inégalité entre les moyennes arithmétique, géométrique et
harmonique (voir I.2.3), le théorème des gendarmes et le résultat de II.3.2.
II.3.7. On applique le problème précédent à la suite
a n+1
an
.
II.3.8. Si b = 0, on prend c n,k =
b n−k+1
nb
et on voit que la condition (i) de
II.3.1 est vérifiée. D’après II.3.2, la condition (ii) est aussi satisfaite. Le résultat se déduit alors du théorème de Toeplitz. Dans le cas b = 0, on pose
c n,k =
1+b n−k+1
n
pour obtenir
lim
n→+∞
a 1 (1 + b n ) + a 2 (1 + b n−1 ) + · · · + a n (1 + b 1 )
n
= a.
Donc, d’après II.3.2,
lim
n→+∞
a 1 b n + a 2 b n−1 + · · · + a n b 1
n
= 0.
II.3.9. On applique le théorème de Toeplitz à la suite
an
bn
en prenant
c n,k =
b k
b 1 +···+bn .
II.3.10. On peut appliquer le théorème de Toeplitz en prenant c n,k =
b k
b 1 +···+bn .
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