Solutions
II.3. La transformation de Toeplitz, le théorème
de Stolz et leurs applications
II.3.1. Si tous les termes de la suite {a n } sont égaux à a, alors d’après (ii),
lim
n→+∞
b n = a lim
n→+∞
n
k=1
c n,k = a. Il suffit donc de considérer le cas où la suite
converge vers 0. On a alors, pour tout m > 1 et n m,
|b n − 0| =
n
k=1
c n,k a k
m−1
k=1
|c n,k | |a k | +
n
k=m
|c n,k | |a k | .
(1)
La convergence vers 0 de {a n } implique que, étant donné ε > 0, il existe n 1
tel que
|a n | <
ε
2C
pour n n 1 .
Bien sûr, la suite {|a n |} est bornée, par exemple par D > 0. Il découle de (i)
qu’il existe n 2 tel que, pour n n 2 ,
n 1 −1
k=1
|c n,k | <
ε
2D
.
En prenant m = n 1 dans (1), on obtient
|b n | D
n 1 −1
k=1
|c n,k | +
ε
2C
n
k=n 1
|c n,k | <
ε
2
+
ε
2
= ε
pour n max {n 1 , n 2 }. Donc, lim
n→+∞
b n = 0.
II.3.2. On applique le théorème de Toeplitz en prenant c n,k =
1
n pour
k = 1, 2, . . . , n.
II.3.3.
(a) Si les c n,k sont positifs, alors (iii) se déduit de (ii).
(b) D’après (ii) dans le problème II.3.1,
n
k=1
c n,k >
1
2 pour n suffisamment
grand, par exemple n > n 0 . La divergence de {a n } vers +∞ implique
que, étant donné M > 0, il existe n 1 tel que a n 2M si n > n 1 .
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