Chapitre II. Suites de nombres réels
D’où,
n
1 +
1
n
1+
1
n − 1
1 +
1
n
+
1
n 2 .
Donc, d’après (1) et le théorème des gendarmes, on a
lim
n→+∞
n
n
√
e − 1
= 1.
(b) Pour n fixé, on a
e
1
n + e
2
n + · · · + e
n
n
n
=
(e − 1)e
1
n
n
e
1
n − 1
.
En utilisant alors le résultat trouvé en (a), on obtient
lim
n→+∞
e
1
n + e
2
n + · · · + e
n
n
n
= e − 1.
II.2.57. On a a n+1 − a n = −p(a n − a n−1 ). Donc,
a n = a + (b − a) + (a 3 − a 2 ) + · · · + (a n − a n−1 )
= a + (b − a)
1 − p + p
2
+ · · · + (−1)
n p
n−2
.
Si b = a, la suite {a n } est alors constante et donc convergente vers a. Si a = b,
la suite est alors convergente si |p| < 1 et sa limite est égale à a +
b−a
1+p .
II.2.58. On observe que
c n+1 =
a n + 2b n
a n + b n
=
c n + 2
c n + 1
.
Donc,
c n+1 −
√ 2
=
√ 2 − 1
c n + 1
c n −
√ 2
<
√ 2 − 1
c n −
√ 2
<
1
2
c n −
√ 2
.
D’où, par récurrence,
c n+1 −
√ 2
<
1
2 n
c 1 −
√ 2
,
ce qui implique que la limite de {c n } est égale à
√ 2.
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