Solutions
II.2.54. Soit d la raison de la suite. On suppose d’abord que d = 0. On a
1
a k a k+1
=
1
a k
−
1
a k+1
1
d
.
D’où,
lim
n→+∞
1
a 1 a 2
+
1
a 2 a 3
+ · · · +
1
a n a n+1
=
1
a 1 d
.
Pour d = 0, la suite arithmétique est constante et
lim
n→+∞
1
a 1 a 2
+
1
a 2 a 3
+ · · · +
1
a n a n+1
= +∞.
II.2.55. Soit d la raison de la suite. On suppose d’abord que d = 0. Puisque
1
√ a k +
√ a k+1
=
√ a k+1 −
√
a k
d
,
on a
lim
n→+∞
1
√
n
1
√ a 1 +
√
a 2
+
1
√ a 2 +
√ a 3
+ · · · +
1
√
a n +
√
a n+1
=
1
√
d
.
Pour d = 0, la suite arithmétique est constante et la limite est donc égale
à +∞.
II.2.56.
(a) D’après le problème II.1.38,
1 +
1
n
n
< e <
1 +
1
n
n+1
.
Donc,
1 < n
n
√
e − 1
< n
1 +
1
n
1+
1
n − 1
.
(1)
En utilisant maintenant l’inégalité de Bernoulli (voir I.2.4), on montre
que
1 +
1
n
1
n 1 +
1
n 2 .
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