Chapitre II. Suites de nombres réels
II.2.51. D’après les hypothèses,
|a n+k − a n |
= |a n+k − a n+k−1 + a n+k−1 − a n+k−2 + · · · + a n+1 − a n |
< λ (|a n+k−1 − a n+k−2 | + |a n+k−2 − a n+k−3 | + · · · + |a n − a n−1 |)
<
λ
k
+ λ
k−1
+ · · · + λ
2
+ λ
|a n − a n−1 |
λ
k
+ λ
k−1
+ · · · + λ
2
+ λ
λ
n−2
|a 2 − a 1 |
=
λ n−1 1 − λ k
1 − λ
|a 2 − a 1 | <
λ n−1
1 − λ
|a 2 − a 1 | .
D’où, pour un ε > 0 fixé, pour n >
1 +
ln
ε(1−λ)
|a 2 −a 1 |
ln λ
et pour tout k ∈ N ∗ , on a
|a n+k − a n | < ε.
II.2.52. Puisque {S n } est convergente, c’est une suite de Cauchy. On prouve
que {ln σ n } est aussi une suite de Cauchy. D’après l’inégalité donnée en II.1.41,
ln σ n+k − ln σ n = ln
1 +
1
a n+k
+ · · · + ln
1 +
1
a n+1
<
1
a n+k
+ · · · +
1
a n+1
< ε
pour tout k ∈ N ∗ et pour n suffisamment grand.
II.2.53. D’après le résultat de I.1.23, on a
R n+k − R n
= (R n+k − R n+k−1 ) + (R n+k−1 − R n+k−2 ) + · · · + (R n+1 − R n )
= (−1)
n
(−1) k−1
q n+k−1 q n+k
+
(−1) k−2
q n+k−2 q n+k−1
+ · · · −
1
q n+1 q n+2
+
1
q n q n+1
.
D’où, par la monotonie de la suite {q n } et le fait que q n n (voir la solution
de I.1.24),
|R n+k − R n |
1
q n q n+1
1
n 2 .
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