Solutions
(d) On a
|a n+k − a n |
=
(−1) n+k−1
(n + k)(n + k + 1)
+
(−1) n+k−2
(n + k − 1)(n + k)
+ · · · +
(−1) n
(n + 1)(n + 2)
1
(n + k)(n + k + 1)
+
1
(n + k − 1)(n + k)
+ · · · +
1
(n + 1)(n + 2)
=
1
n + k
−
1
n + k + 1
+
1
n + k − 1
−
1
n + k
+ · · · +
1
n + 1
−
1
n + 2
=
1
n + 1
−
1
n + k + 1
<
1
n + 1
< ε
pour tout k ∈ N ∗ et n >
1
ε − 1
.
(e) On a
|a n+k − a n | M
|q|
n+k
+ |q|
n+k−1
+ · · · + |q|
n+1
= M
⎛
⎝
|q|
n+1
1 − |q|
k
1 − |q|
⎞
⎠
M
1 − |q|
|q|
n+1 < ε
pour tout k ∈ N ∗ et n > n 0 =
ln
(1−|q|)ε
M
ln|q|
− 1
.
(f) On a
a 2n − a n =
2n
(2n + 1) 2 +
2n − 1
(2n) 2 + · · · +
n + 1
(n + 2) 2
n
2n
(2n + 1) 2
2n 2
(3n) 2 =
2
9
.
Donc, {a n } n’est pas une suite de Cauchy.
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