Chapitre II. Suites de nombres réels
Pour cela, on remarque que pour n 3,
n =
n
√
n − 1 + 1
n >
n(n − 1)(n − 2)
3!
n
√
n − 1
3 .
Donc,
0 n
n
√
n − 1
2 n
3!
(n − 1)(n − 2)
2
3
et lim
n→+∞
n (
n
√
n − 1)
2 = 0.
II.2.50.
(a) On a
|a n+k − a n | =
Arctan(n + 1)
2 n+1
+ · · · +
Arctan(n + k)
2 n+k
<
π
2
1
2 n+1 + · · · +
1
2 n+k
<
π
2 n+1 .
Pour ε > 0 fixé, on prend n 0 =
log 2
π
ε − 1
. Pour tout k ∈ N ∗ et n > n 0 ,
on a alors |a n+k − a n | < ε. Donc, {a n } est une suite de Cauchy.
(b) On peut montrer par récurrence que 4 n > n 4 pour tout n 5. Donc,
|a n+k − a n | <
1
(n + 1) 2 +
1
(n + 2) 2 + · · · +
1
(n + k) 2 .
D’où,
|a n+k − a n | <
1
n(n + 1)
+
1
(n + 1)(n + 2)
+ · · · +
1
(n + k − 1)(n + k)
=
1
n
−
1
n + 1
+
1
n + 1
−
1
n + 2
+ · · · +
1
n + k − 1
−
1
n + k
=
1
n
−
1
n + k
<
1
n
< ε
pour tout k ∈ N ∗ et n >
1
ε
.
(c) On note que
|a 2n − a n | =
1
2n
+
1
2n − 1
+ · · · +
1
n + 1
n
1
2n
=
1
2
.
Ceci implique que {a n } n’est pas une suite de Cauchy.
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