Solutions
II.2.48. L’égalité est évidente pour x = 1. On suppose maintenant que x > 1.
On applique le théorème des gendarmes pour calculer la limite. On a
0 <
n
√
x − 1
2 =
n
√
x 2 − 2
n
√
x + 1,
d’où
2
n
√
x − 1
n <
n
√
x 2
n = x
2 .
(1)
De plus,
2
n
√
x − 1
n = x
2
2
n
√
x
−
1
n
√
x 2
n
=
1 +
2
n
√
x
−
1
n
√
x 2
− 1
n
.
On a alors, d’après l’inégalité de Bernoulli,
2
n
√
x − 1
n x
2
1 + n
2
n
√
x
−
1
n
√
x 2
− 1
= x
2
1 − n
(
n
√ x − 1)
2
n
√
x 2
. (2)
Toujours avec l’inégalité de Bernoulli, on a
x =
n
√
x − 1 + 1
n 1 + n
n
√
x − 1
> n
n
√
x − 1
.
Donc,
n
√
x − 1
2 <
x 2
n 2 .
D’où, d’après (2),
2
n
√
x − 1
n > x
2
1 −
x 2
n
n
√
x 2
.
(3)
En combinant (1) et (3) au théorème des gendarmes, on voit que
lim
n→+∞
2
n
√
x − 1
n = x
2 .
II.2.49. Comme dans le problème précédent, on peut établir les inégalités
1
(2
n
√ n − 1)
n
n 2
1 − n
(
n
√
n − 1)
2
n
√
n 2
.
Il suffit maintenant de montrer que
lim
n→+∞
n
(
n
√ n − 1)
2
n
√
n 2
= 0.
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