Chapitre II. Suites de nombres réels
(d) On pose x n =
1
√
n
+
1
√
n+1
+ · · · +
1
√
2n
, y n =
√
n. On a alors
lim
n→+∞
x n − x n−1
y n − y n−1
= lim
n→+∞
1
√ 2n
+
1
√ 2n−1
−
1
√
n−1
√
n −
√
n − 1
= lim
n→+∞
√
n +
√
n − 1
1
√ 2n
+
1
√ 2n − 1
−
1
√
n − 1
= lim
n→+∞
1
√ 2
+
n
2n − 1
−
n
n − 1
+
n − 1
2n
+
n − 1
2n − 1
− 1
= 2
√ 2 − 1
.
Donc, d’après le théorème de Stolz, la limite est égale à 2
√ 2 − 1
.
(e) On voit, en prenant x n = 1 k + 2 k + · · · + n k et y n = n k+1 , que
x n − x n−1
y n − y n−1
=
n k
n k+1 − (n − 1) k+1 − −−−− →
n→+∞
1
k + 1
.
Il suffit alors d’appliquer le théorème de Stolz.
(f) D’après le théorème de Stolz, on a
lim
n→+∞
1 + 1 × a + 2 × a 2 + · · · + n × a n
n × a n+1
=
1
a − 1
.
(g) On applique le théorème de Stolz à
x n = (k + 1)
1
k
+ 2
k
+ · · · + n
k
− n
k+1 et y n = (k + 1)n
k .
On a alors
x n − x n−1
y n − y n−1
=
(k + 1)n k − n k+1 + (n − 1) k+1
(k + 1) (n k − (n − 1) k )
− −−−− →
n→+∞
1
2
.
II.3.13. On voit, en appliquant le théorème de Stolz à
x n = a 1 +
a 2
√ 2
+ · · · +
a n
√ n
et y n =
√
n,
que
lim
n→+∞
1
√ n
a 1 +
a 2
√ 2
+ · · · +
a n
√ n
= 2a.
II.3.14. On prend x n = a n+1 et y n = n dans le théorème de Stolz.
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