Chapitre II. Suites de nombres réels
II.2.39. D’après le problème I.2.1,
n
p
1 +
a 1 + a 2 + · · · + a p
n
− 1
n
p
1 +
a 1
n
1 +
a 2
n
· · ·
1 +
a p
n
− 1
=
p
(n + a 1 )(n + a 2 ) · · · (n + a p ) − n.
(1)
De plus, avec I.2.4, on obtient
n
p
1 +
a 1
n
1 +
a 2
n
· · ·
1 +
a p
n
− 1
= n
⎛
⎜
⎜
⎝
p
1 +
a 1 + · · · + a p
n
+
i a i a j
n 2 + · · · +
a 1 · · · a p
n p
− 1
⎞
⎟
⎟
⎠
a 1 + · · · + a p
p
+
i a i a j
np
+ · · · +
a 1 · · · a p
pn p−1 .
(2)
En combinant (1) et (2) avec le résultat du problème précédent, on montre
que la limite est égale à
a 1 +a 2 +···+ap
p
.
II.2.40. On remarque que
n + 1
√
n 2 + n + 1
1
√
n 2 + 1
+
1
√
n 2 + 2
+ · · · +
1
√
n 2 + n + 1
n + 1
√
n 2 + 1
.
D’après le théorème des gendarmes, la limite est égale à 1.
II.2.41. Soit a le plus grand des nombres a 1 , a 2 , . . . , a p . On a
a
n
√ p
n
a n
1 + a n
2 + · · · + a n
p
p
a.
Le théorème des gendarmes implique
lim
n→+∞
n
a n
1 + a n
2 + · · · + a n
p
p
= a = max {a 1 , a 2 , . . . , a p } .
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