Solutions
II.2.42. Puisque
1
n
2 sin
2 n 1999
n + 1
+ cos 2 n 1999
n + 1
n
√ 2,
il s’ensuit que
lim
n→+∞
n
2 sin
2 n 1999
n + 1
+ cos 2 n 1999
n + 1
= 1.
II.2.43. On applique le théorème des gendarmes. On a
1 < (1 + n(1 + cos n))
1
2n+n sin n < (1 + 2n)
1
2n+n sin n .
On montre que
lim
n→+∞
(1 + 2n)
1
2n+n sin n = 1.
(1)
En effet,
1 < (1 + 2n)
1
2n+n sin n < (1 + 2n)
1
n .
L’égalité (1) découle donc du théorème des gendarmes. La limite cherchée est
égale à 1.
II.2.44. D’après l’inégalité entre moyennes harmonique, géométrique et
arithmétique (voir I.2.3), pour x > −1, on a
1 +
x
2 + x
=
2
1
1+x + 1
(1 + x) × 1 =
√ 1 + x
1 + x + 1
2
= 1 +
x
2
.
En prenant alors x =
k
n 2 (k = 1, 2, . . . , n) et en additionnant les inégalités
obtenues, on a
n
k=1
k
n 2
2 +
k
n 2
n
k=1
1 +
k
n 2 − 1
n
k=1
k
2n 2 .
(1)
De plus,
n
k=1
k
2n 2 =
n(n + 1)
4n 2
− −−−− →
n→+∞
1
4
et
n
k=1
k
n 2
2 +
k
n 2
=
n
k=1
k
2n 2 + n
1
2n 2 + n
n
k=1
k =
n(n + 1)
2(2n 2 + n)
− −−−− →
n→+∞
1
4
.
On conclut donc avec (1) et le théorème des gendarmes que
lim
n→+∞
n
k=1
1 +
k
n 2 − 1
=
1
4
.
103