Solutions
II.2.34. On note a n le n-ième terme de la suite. On a
a n+1
a n
=
m − n
n + 1
x
− −−−− →
n→+∞
|x| .
D’après le problème II.2.31, la suite tend vers 0.
II.2.35. On suppose que |b n | < M pour n ∈ N ∗ . Puisque lim
n→+∞
a n = 0, pour
tout ε > 0, il existe n 0 ∈ N ∗ tel que |a n | <
ε
M pour n > n 0 . D’où,
|a n b n | < ε pour n > n 0 .
Ceci signifie que lim
n→+∞
a n b n = 0.
II.2.36. On peut supposer, sans perte de généralité, que a b. Supposons
d’abord que a < b. Soit ε > 0 suffisamment petit pour que a + ε < b − ε. Par
définition de la limite d’une suite, a n < a+ ε < b− ε < b n pour n suffisamment
grand. Donc, max {a n , b n } = b n et
lim
n→+∞
max {a n , b n } = lim
n→+∞
b n = b = max {a, b} .
Si a = b, pour tout ε > 0, il existe n 0 tel que les inégalités |a n − a| < ε et
|b n − a| < ε soient vérifiées pour n > n 0 . Ceci implique
|max {a n , b n } − a| < ε.
On a ainsi prouvé que
lim
n→+∞
max {a n , b n } = max {a, b} .
II.2.37. Puisque lim
n→+∞
a n = 0, on a pour tout ε ∈ ]0 , 1[,
p
√
1 − ε <
p
√ 1 + a n <
p
√
1 + ε pour n suffisamment grand.
Ceci implique lim
n→+∞
p
√ 1 + a n = 1.
II.2.38. On pose x n =
p
√ 1 + a n . D’après le problème précédent,
lim
n→+∞
x n = 1. En conséquence,
lim
n→+∞
p
√ 1 + a n − 1
a n
= lim
n→+∞
x n − 1
x
p
n − 1
= lim
n→+∞
x n − 1
(x n − 1)(x
p−1
n
+ · · · + 1)
=
1
p
.
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