Chapitre II. Suites de nombres réels
II.2.29. Puisque lim
n→+∞
a n = 0, à partir d’une certaine valeur n 0 de l’indice
n, |a n |
n <
1
2
n . En conséquence, lim
n→+∞
a n
n = 0.
II.2.30. On pose max {a 1 , a 2 , . . . , a k } = a l . On montre, en divisant le numérateur et le dénominateur par a n
l , que
lim
n→+∞
p 1 a
n+1
1
+ p 2 a
n+1
2
+ · · · + p k a
n+1
k
p 1 a n
1 + p 2 a n
2 + · · · + p k a n
k
= a l .
II.2.31.
(a) Soit ε > 0 suffisamment petit pour avoir q + ε < 1. Il existe alors n 0 ∈ N ∗
tel que
a n+1
a n
< q + ε pour n n 0 .
Donc,
|a n | < (q + ε)
n−n 0 |a n 0 | , n n 0 .
Ceci implique lim
n→+∞
|a n | = 0, d’où lim
n→+∞
a n = 0.
(b) Soit ε > 0 suffisamment petit pour avoir q − ε > 1. On a alors,
à partir d’un certain rang n 1 , |a n | > (q − ε) n−n 1 |a n 1 |. On obtient
lim
n→+∞
|a n | = +∞ car lim
n→+∞
(q − ε) n−n 1 = +∞.
II.2.32.
(a) On prend ε > 0 suffisamment petit pour avoir q + ε < 1. Il existe alors
n 0 ∈ N ∗ tel que |a n | < (q + ε) n , n n 0 . Donc, lim
n→+∞
a n = 0.
(b) On a |a n | > (q − ε) n pour n > n 1 . Si ε > 0 est suffisamment petit, alors
q − ε > 1 et lim
n→+∞
(q − ε) n = +∞. Donc, lim
n→+∞
|a n | = +∞.
II.2.33. En posant a n = n α x n , on obtient
lim
n→+∞
a n+1
a n
= lim
n→+∞
n + 1
n
α
x = x, où 0 < x < 1.
Donc, d’après le problème II.2.31, la suite tend vers 0.
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