Solutions
D’où,
lim
n→+∞
a n =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−
x + 1
x − 1
pour |x| < 1,
x + 1
x − 1
pour |x| > 1,
0
pour x = −1,
+∞
pour x = 1.
II.2.17. Soit x = 1. On a
1 + x
3 k + x
2×3 k =
1 + x 3 k + x 2×3 k
x 3 k − 1
x 3 k − 1
=
x 3 k+1 − 1
x 3 k − 1
.
Donc,
n
k=1
1 + x
3 k + x
2×3 k
=
x 3 n+1 − 1
x 3 − 1
.
Notons g la limite de la suite. On a alors
g =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1
1 − x 3 pour |x| < 1,
+∞
pour |x| > 1,
1
pour x = −1,
+∞
pour x = 1.
II.2.18. Clairement, k × k! = (k + 1)! − k! pour k ∈ N ∗ . Donc,
lim
n→+∞
1 × 1! + 2 × 2! + · · · + n × n!
(n + 1)!
= lim
n→+∞
(n + 1)! − 1
(n + 1)!
= 1.
II.2.19. On note d’abord que le problème a un sens pour x = 0.
D’après II.2.3, le dénominateur n x − (n − 1)
x tend vers zéro si 0 < x < 1. De
plus, si x < 0, le dénominateur tend aussi vers zéro. Pour x = 1, il est égal
à 1. La suite diverge donc vers l’infini (+∞ ou −∞) pour x 1, x = 0. Soit
x > 1. On pose k = [x]. On a alors k 1 et
1 −
1 −
1
n
k
1 −
1 −
1
n
x
< 1 −
1 −
1
n
k+1
.
Ces inégalités impliquent qu’il existe α et β tels que
α < n
1 −
1 −
1
n
x
< β,
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