Chapitre II. Suites de nombres réels
II.2.14. On observe que
x 2 k−1
1 − x 2 k =
1
1 − x 2 k−1 −
1
1 − x 2 k pour k = 1, 2, . . . , n.
Donc,
lim
n→+∞
n
k=1
x 2 k−1
1 − x 2 k =
⎧
⎨
⎩
x
1 − x
pour |x| < 1,
1
1 − x
pour |x| > 1.
II.2.15. Pour x = 1,
(1 − x)(1 + x)
1 + x 2 · · ·
1 + x 2 k
1 − x
=
1 − x 2 n+1
1 − x
et, en conséquence,
a n =
n
k=0
1 + x
2 k
=
⎧
⎨
⎩
1 − x 2 n+1
1 − x
pour n ∈ N, x = 1,
2 n+1
pour n ∈ N, x = 1.
Finalement,
lim
n→+∞
a n =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−∞
pour x < −1,
0
pour x = −1,
1
1 − x
pour |x| < 1,
+∞
pour x 1.
II.2.16. Pour x = 1,
a n =
n
k=0
1 +
2
x 2 k + x −2 k
=
n
k=0
x 2 k + 1
2
x 2 k+1 + 1
=
(x + 1)(x − 1)(x + 1)
x 2 + 1
· · ·
x 2 n + 1
(x − 1)
x 2 n+1 + 1
=
x + 1
x − 1
·
x 2 n+1 − 1
x 2 n+1 + 1
.
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