Solutions
II.2.8. On a
a n + a
2
n + · · · + a
k
n − k = (a n − 1) +
a
2
n − 1
+ · · · +
a
k
n − 1
.
De plus,
lim
n→+∞
a l
n − 1
a n − 1
= l pour l = 1, 2, . . . , k.
La limite est donc égale à 1 + 2 + · · · + k =
k(k+1)
2
.
II.2.9. On peut prouver, en utilisant l’égalité
1
k(k + 1)(k + 2)
=
1
2
·
1
k
−
1
k + 1
+
1
2
·
1
k + 2
(k ∈ N
∗
),
que la limite est égale à
1
4 .
II.2.10. Puisque
k 3 − 1
k 3 + 1
=
(k − 1)
(k + 1)
2
− (k + 1) + 1
(k + 1)(k 2 − k + 1)
,
on obtient
n
k=2
k 3 − 1
k 3 + 1
=
2
3
·
n 2 + n + 1
n 2 + n
− −−−− →
n→+∞
2
3
.
II.2.11.
1
6 .
II.2.12. Puisque 1 −
2
k(k+1) =
(k+2)(k−1)
k(k+1) , on a
1 −
2
2 × 3
1 −
2
3 × 4
· · ·
1 −
2
(n + 1)(n + 2)
=
1
3
·
n + 3
n + 1
− −−−− →
n→+∞
1
3
.
II.2.13. On a
k
3
+ 6k
2
+ 11k + 5 = (k + 1)(k + 2)(k + 3) − 1.
Donc,
lim
n→+∞
n
k=1
k 3 + 6k 2 + 11k + 5
(k + 3)!
= lim
n→+∞
n
k=1
1
k!
−
1
(k + 3)!
=
5
3
.
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