Chapitre II. Suites de nombres réels
(i) Comme en (h), on montre que la limite est aussi égale à
1
2 .
II.2.2. On pose a n =
n s
(1+p)
n . On a alors
a n+1
an
=
n+1
n
s 1
p+1 . De plus,
lim
n→+∞
n+1
n
s 1
p+1 =
1
p+1 . La suite {a n } est donc décroissante à partir d’un
certain rang n 0 . Elle est aussi minorée, par exemple par 0. Sa limite g vérifie
l’égalité g =
1
p+1 g, donc g = 0.
II.2.3. On a
0 < (n + 1)
α
− n
α
= n
α
1 +
1
n
α
− 1
< n
α
1 +
1
n
− 1
=
1
n 1−α .
La limite de la suite est donc égale à 0.
II.2.4. Soit α =
p
q avec p ∈ Z et q ∈ N ∗ . Pour n > q, le nombre n!απ est un
multiple de π, ce qui signifie que les termes de la suite sont tous nuls à partir
d’une certaine valeur n 0 de l’indice n.
II.2.5. Si la limite existait, on aurait alors
0 = lim
n→+∞
(sin(n + 2) − sin n) = 2 sin 1 lim
n→+∞
cos(n + 1)
et lim
n→+∞
cos n = 0. De même,
0 = lim
n→+∞
(cos(n + 2) − cos n) = −2 sin 1 lim
n→+∞
sin(n + 1),
ce qui est impossible car sin
2 n + cos 2 n = 1 pour tout n ∈ N. La limite
lim
n→+∞
sin n n’existe donc pas.
II.2.6. Voir la solution du problème précédent.
II.2.7. On a
lim
n→+∞
1
n
a +
1
n
2
+
a +
2
n
2
+ · · · +
a +
n − 1
n
2
= lim
n→+∞
n − 1
n
a
2
+
n(n − 1)
n 2
a +
1 + 2 2 + · · · + (n − 1) 2
n 3
= a
2
+ a +
1
3
.
La dernière égalité se déduit du fait que 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 =
n(n+1)(2n+1)
6
.
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