Solutions
II.2. Limites. Propriétés des suites convergentes
II.2.1.
(a) 1.
(b) 1.
(c) −1.
(d) On a
0 <
2 −
3
√ 2
2 −
5
√ 2
· · ·
2 −
2n+1 √ 2
<
√ 2 − 1
n
.
La limite de la suite est donc égale à 0.
(e) On prouve d’abord que la suite a n =
n 2
2 n converge vers 0. Pour n 3, on
a a n+1 =
1
2 a n ·
(n+1)
2
n 2
< a n . La suite est donc décroissante. Elle est clairement minorée par 0. Elle converge donc et sa limite g vérifie l’égalité
g =
1
2 g, d’où g = 0. On détermine alors la limite de notre suite. On pose
pour cela k n = [
√
n ]. On a k n
√ n < k n + 1, ce qui donne
0 <
n
2
√
n
< 2
(k n + 1) 2
2 kn+1 .
La limite de la suite donnée est donc égale à 0.
(f) On pose a n =
n!
2 n 2 . On a a n+1 =
1
2 a n ·
n+1
2 2n < a n (n ∈ N ∗ ), ce qui implique
(voir la solution du problème II.1.3) g = 0.
(g) On pose
a n =
1
√ n
1
√
1 +
√ 3
+
1
√ 3 +
√
5
+ · · · +
1
√ 2n − 1 +
√ 2n + 1
.
On a a n =
√ 2n+1−1
2
√
n
qui est une conséquence de l’égalité
1
√ 2k−1+
√ 2k+1
=
√ 2k−1−
√ 2k+1
−2
. Donc, lim
n→+∞
a n =
√ 2
2 .
(h) L’inégalité
(1 + 2 + · · · + n)
1
n 2 + n
1
n 2 + 1
+
2
n 2 + 2
+ · · · +
n
n 2 + n
(1 + 2 + · · · + n)
1
n 2 + 1
et le théorème des gendarmes impliquent que la limite est égale à
1
2 .
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