Chapitre II. Suites de nombres réels
II.1.40. On applique l’inégalité entre moyennes harmonique et géométrique
H n+l+1 < G n+l+1 (voir le problème I.2.3) en prenant a 1 = 1, a 2 = a 3 =
· · · = a n+l+1 = 1 +
x
n , pour obtenir
n+l+1
1 +
x
n
n+l
> 1 +
x(n + l)
n 2 + nl + x + n
> 1 +
x(n + l)
(n + 1)(n + l)
.
Ceci montre que b n > b n+1 , n ∈ N ∗ .
II.1.41. On a, avec l’inégalité donnée en indication,
a n+1 − a n =
1
n
− ln
n + 1
n
> 0 ,
b n+1 − b n =
1
n + 1
− ln
n + 1
n
< 0.
Clairement, a 1 a n < b n b 1 (n ∈ N ∗ ) et les deux suites convergent donc
(vers la même limite).
II.1.42. On vérifie facilement que la suite {a n } est monotone et bornée.
L’égalité a 2
n+1 = a n implique que sa limite est égale à 1. On prouve maintenant la monotonie de {c n }. On suppose d’abord que x > 1. On a alors
c n = 2
n
(a n − 1) = 2
n
(a
2
n+1 − 1) = 2
n
(a n+1 − 1)(a n+1 + 1)
= 2
n+1
(a n+1 − 1)
a n+1 + 1
2
> c n+1 .
Ceci signifie que la suite {c n } est strictement décroissante pour x > 1. Le
même raisonnement s’applique au cas 0 < x < 1. Pour x = 1, la suite est
constante. La monotonie de {d n } peut se prouver de la même manière.
Pour x > 1, la suite {c n } converge (car elle est décroissante et minorée
par 0). D’autre part, pour 0 < x < 1, la suite {d n } est croissante et majorée
par 0. Il découle alors de l’égalité
d n =
c n
a n
que les deux suites tendent vers la même limite pour tout x strictement positif
et différent de 1. Si x = 1, c n = d n = 0.
92