Solutions
II.1.38.
(a) b n =
1 +
1
n
n+1 =
1 +
1
n
a n > a n .
(b) On applique l’inégalité entre les moyennes arithmétique et géométrique
G n+1 < A n+1 (voir le problème I.2.3) en prenant a 1 = 1, a 2 = a 3 =
· · · = a n+1 = 1 +
1
n , pour obtenir
n+1
1 +
1
n
n
< 1 +
1
n + 1
.
D’où,
1 +
1
n
n
<
1 +
1
n + 1
n+1
pour n ∈ N
∗ .
(c) On applique l’inégalité entre les moyennes harmonique et géométrique
H n+1 < G n+1 en prenant a 1 = 1, a 2 = a 3 = · · · = a n+1 = 1 +
1
n−1 , pour
obtenir
1 +
1
n
<
n+1
n
n − 1
n
,
ce qui donne b n < b n−1 pour n > 1. Pour prouver que les deux suites
{a n } et {b n } convergent, il suffit d’observer que a 1 a n < b n b 1 pour
n ∈ N ∗ . De plus, lim
n→+∞
b n = lim
n→+∞
1 +
1
n
a n = lim
n→+∞
a n .
II.1.39.
(a) On applique l’inégalité entre les moyennes arithmétique et géométrique
G n+1 < A n+1 (voir le problème I.2.3) en prenant a 1 = 1, a 2 = a 3 =
· · · = a n+1 = 1 +
x
n , n ∈ N ∗ , pour montrer que la suite est strictement
croissante.
Si 0 < x 1, d’après le problème précédent, on a
1 +
x
n
n
1 +
1
n
n
< e.
Si x > 1, il existe alors un entier positif n 0 tel que x n 0 . La monotonie
de la suite
1 +
n 0
n
n
et le résultat du problème précédent impliquent
alors
1 +
x
n
n
1 +
n 0
n
n
<
1 +
n 0
n 0 n
n 0 n
< e
n 0 .
(b) Il suffit d’appliquer le même raisonnement qu’en (a) et d’observer que,
pour x 0, la suite est majorée, par exemple par 1.
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