Chapitre II. Suites de nombres réels
II.1.35. D’après l’inégalité entre les moyennes arithmétique et harmonique
(voir I.2.3), a n b n . Donc,
a n+1 =
a n + b n
2
a n , n ∈ N
∗ ,
ce qui signifie que la suite {a n } est décroissante. D’autre part, {b n } est croissante car
b n+1 =
2a n b n
a n + b n
b n , n ∈ N
∗ .
De plus, b 1 < a n , b n < a 1 et les deux suites convergent donc. On note
α = lim
n→+∞
a n et β = lim
n→+∞
b n . Un passage à la limite lorsque n tend vers +∞
dans l’égalité a n+1 =
an+bn
2
donne α =
α+β
2 , d’où α = β.
On remarque de plus que a n+1 b n+1 = a n b n , ce qui implique que tous les
termes de {a n b n } sont égaux à a 1 b 1 . Il s’ensuit que α = β =
√
a 1 b 1 .
II.1.36. On a a n+1 =
n+2
2(n+1) (a n + 1), n ∈ N ∗ . Donc,
a n+1 − a n =
−na n + (n + 2)
2(n + 1)
.
En appliquant alors l’inégalité na n > n + 2 pour n 4 (qui peut se prouver
par récurrence), on voit que la suite est décroissante et donc convergente. On
pose α = lim
n→+∞
a n . Un passage à la limite dans l’égalité a n+1 =
n+2
2(n+1) (a n + 1)
donne α = 1.
II.1.37. L’inégalité a n+2
1
3 a n+1 +
2
3 a n implique
a n+2 +
2
3
a n+1 a n+1 +
2
3
a n .
La suite b n = a n+1 +
2
3 a n est décroissante et bornée donc convergente. Soit
b sa limite. On montre que {a n } converge vers a =
3
5 b. Soit ε > 0. Il existe
n 0 ∈ N ∗ tel que
ε
6 > |b n − b| pour n n 0 . D’où,
ε
6
>
a n+1 +
2
3
a n −
5
3
a
|a n+1 − a| −
2
3
|a n − a| pour n n 0 .
Donc, |a n+1 − a| <
2
3 |a n − a| +
ε
6 . On peut montrer par récurrence que
|a n 0 +k − a|
2
3
k
|a n 0 − a| +
2
3
k−1
+ · · · +
2
3
+ 1
ε
6
2
3
k
|a n 0 − a| +
1 −
2
3
k
1 −
2
3
ε
6
<
2
3
k
|a n 0 − a| +
ε
2
.
Puisque
2
3
k |a n 0 − a| <
ε
2 pour k suffisamment grand, |a n − a| < ε pour n
suffisamment grand.
90