Chapitre II. Suites de nombres réels
ce qui donne
αn
x−1 < n
x
1 −
1 −
1
n
x
< βn
x−1 .
Donc, si x − 1 < 1 999, la suite diverge alors vers +∞. Si x − 1 > 1 999, la suite
converge vers 0. On prend alors x = 2 000. D’après la formule du binôme, on a
lim
n→+∞
n 1 999
n 2 000 − (n − 1) 2 000 =
1
2 000
.
II.2.20. On a
a n =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
a n+1 − b n+1
a n − b n
si a > b,
n + 1
n
a
si a = b.
Donc, lim
n→+∞
a n = a.
II.2.21. On peut prouver par récurrence que a n = (n − 1) 2 . En conséquence,
lim
n→+∞
a n = +∞.
II.2.22. On prouve par récurrence que a n =
ab
√
a 2 +nb 2 . Donc, lim
n→+∞
a n = 0.
II.2.23. On peut prouver que a n = 1 −
1
4
n−1 . On a donc lim
n→+∞
a n = 1.
II.2.24. On vérifie facilement que a n+1 = 1 + b + · · · + b n−1 + b n a. D’où,
a n+1 =
⎧
⎨
⎩
1
1 − b
+
a −
1
1 − b
b n pour b = 1,
n + a
pour b = 1.
Donc, si b = 1 et a ∈ R, la suite diverge vers +∞. Si b = 1 et a =
1
1−b , la
suite converge vers
1
1−b . Dans le cas où a =
1
1−b et |b| < 1, elle converge aussi
vers
1
1−b . Dans les cas restants, la suite diverge. Plus précisément, si b −1
et a =
1
1−b , la suite n’a pas de limite, ni finie, ni infinie. Si b > 1 et a >
1
1−b ,
la suite diverge proprement vers +∞. Finalement, si b > 1 et a <
1
1−b , la suite
diverge proprement vers −∞.
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