Chapitre I. Limites et continuité
I.4.10. On a lim
x→x 0
f (x) = lim
x→x 0
f (x) = lim
x→x 0
f (x). Donc, d’après I.4.8,
lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x) lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x)
et
lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) = lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x).
Les autres inégalités se prouvent de la même façon.
I.4.11. Si λ = l ou λ = L, la proposition se déduit immédiatement de I.4.5.
On suppose donc que λ ∈ ]l , L[. D’après I.4.5, il existe alors des suites {x
n }
et {x
n } convergentes toutes deux vers a et telles que
lim
n→+∞
f (x
n ) = l et
lim
n→+∞
f (x
n ) = L.
Il s’ensuit que f (x
n ) < λ < f(x
n ) à partir d’une certaine valeur de l’indice n.
Puisque f est continue, elle vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. Il
existe donc x n dans l’intervalle d’extrémités x
n et x
n tel que f (x n ) = λ.
Puisque {x
n } et {x
n } convergent vers a, la suite {x n } converge donc aussi
vers a.
I.4.12. La fonction est continue en tout point de la forme kπ avec k ∈ Z
(voir I.2.1). Clairement,
lim
x→x 0
f (x) =
sin x 0 si sin x 0 > 0,
0
si sin x 0 0
et
lim
x→x 0
f (x) =
0
si sin x 0 > 0,
sin x 0 si sin x 0 0.
En conséquence, f est semi-continue supérieurement sur l’ensemble
Q ∩
k∈Z
]2kπ , (2k + 1)π[
∪
(R \ Q) ∩
k∈Z
[(2k − 1)π , 2kπ]
et semi-continue inférieurement sur
Q ∩
k∈Z
](2k − 1)π , 2kπ[
∪
(R \ Q) ∩
k∈Z
[2kπ , (2k + 1)π]
.
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