Solutions
I.4.13. On a
lim
x→x 0
f (x) =
x 2
0 − 1 si x 0 < −1 ou x 0 > 1,
0
si x 0 ∈ [−1 , 1]
et
lim
x→x 0
f (x) =
0
si x 0 < −1 ou x 0 > 1,
x 2
0 − 1 si x 0 ∈ [−1 , 1].
La fonction f est semi-continue supérieurement en tout irrationnel de
]−∞ , −1[ ∪ ]1 , +∞[ et en tout rationnel de l’intervalle [−1 , 1] ; f est semicontinue inférieurement en tout rationnel de ]−∞ , −1] ∪ [1 , +∞[ et en tout
irrationnel de ]−1 , 1[.
I.4.14. La fonction f est continue en 0 et en tout irrationnel (voir I.2.3).
Soit 0 = x 0 =
p
q , où p ∈ Z et q ∈ N ∗ sont premiers entre eux. On a f (x 0 ) =
1
q
et lim
x→x 0
f (x) = 0 <
1
q . Donc, f est semi-continue supérieurement sur R.
I.4.15.
(a) La fonction f est continue en 0 et en tout irrationnel strictement positif (voir I.2.3). On suppose que x 0 est un irrationnel strictement
négatif. On a lim
x→x 0
f (x) = |x 0 | = f (x 0 ). Donc, f est semi-continue
supérieurement en 0 et en tout irrationnel. Si x 0 =
p
q > 0, alors
lim
x→x 0
f (x) =
p
q >
p
q+1 = f (x 0 ). Ceci signifie que f est semi-continue
inférieurement en tout rationnel strictement positif. Si x 0 =
p
q < 0, alors
lim
x→x 0
f (x) = −
p
q
>
p
q + 1
= f (x 0 )
et
lim
x→x 0
f (x) =
p
q
<
p
q + 1
= f (x 0 ).
Donc, f n’est semi-continue ni supérieurement, ni inférieurement, en tout
rationnel strictement négatif.
(b) On note que pour x ∈ ]0 , 1],
lim
t→x
f (t) = −x < f(x) < x = lim
t→x
f (t).
Donc, f n’est semi-continue ni supérieurement, ni inférieurement, sur
]0 , 1].
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